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文档介绍：二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿–莱布尼兹公式
一、引例
第二节
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微积分的基本公式
第五章
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.
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二、积分上限的函数及其导数
则变上限函数
证:
则有
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定理1. 若
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路.
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例1. 求
解:
原式
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例2.
确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式=
c ≠0 , 故
又由
~
, 得
例3.
证明
在
内为单调递增函数.
证:
只要证
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三、牛顿–莱布尼兹公式
( 牛顿- 莱布尼兹公式)
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证:
根据定理 1,
故
因此
得
记作
定理2.
函数,
则
例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线
的面积.
解:
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例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶, 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
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车到停车走了多少距离?
内容小结
则有
1. 微积分基本公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿–莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
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