文档介绍：. .
. v .
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(此处)得，
例6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西〔〕不等式的简捷证法：
而由不等式得
(时取等号)
〔〕，得证！
例7 [解析] 结合第问结论及所给题设条件〔〕的构造特征，可得放缩思路：。
于是，
即
【注】：题目所给条件〔〕为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩：
，
即
例8 【简析】 当时，即 于是当时有
注：此题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进展有效地放缩；
再如：【解析】〔Ⅰ〕1；〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕得，对x>－1有，利用此结论进展巧妙赋值：取
. .
. v .
，那么有
即对于任意，有
例9 [解析] 引入一个结论：假设那么，〔可通过构造一个等比数列求和放缩来证明，略〕
整理上式得〔〕，以代入〔〕式得。即单调递增。以代入〔〕式得。此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。
注：上述不等式可加强为简证如下： 利用二项展开式进展局部放缩：
只取前两项有对通项作如下放缩：
故有
3. 局部放缩
例10 [解析]
又〔只将其中一个变成，进展局部放缩〕，，
于是
例11 【解析】 用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，
那么当时，成立。
利用上述局部放缩的结论来放缩通项，可得
【注】上述证明用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；
证明就直接使用了局部放缩的结论。
. .
. v .
例12 [简析] 观察的构造，注意到，展开得
即，得证.
例13[简析] 此题有多种放缩证明方法，这里我们对〔Ⅰ〕进展减项放缩，有
法1 用数学归纳法〔只考虑第二步〕；
法2
那么
例14 [解析] 〔Ⅰ〕=1 ；〔Ⅱ〕由得 且
用数学归纳法〔只看第二步〕：在是增函数，那么得
例15 [解析] 构造函数易知在是增函数。当时在递增，故。对(II)有，构造函数
它在上是增函数，故有，得证。
【注】①数列单调递减有下界因而有极限：
②是递推数列的母函数，研究其单调性对此数列本质属性具有重要的指导作用。
例16 [简析] 令，这里那么有
，从而有
注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进展局部放缩起到了关键性的作用。
例17 [简析] 令，那么，，应用二项式定理进展局部放缩有
，
注意到，那么〔证明从略〕，因此.
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. v .
7 转化为加强命题放缩
例18 [解析] 用数学归纳法推时的结论，仅用归纳假设及递推式
是难以证出的，因为出现在分母上！可以逆向考虑：
故将原问题转化为证明其加强命题：对一切正整数有〔证略〕
例19 [简析] 将问题一般化：先证明其加强命题用数学归纳法，只考虑第二步：
。因此对一切有
例20 [解析]：〔1〕将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝〔n³1〕……1°
〔2〕证：据1°得，a1·a2·…an＝，为证a1·a2·……an<2·n！，
只要证nÎN*时有>……2° 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式：
对每个nÎN*，有³1－〔〕……3°
〔用数学归纳法，证略〕利用3°得³1－〔〕
＝1－＝1－>。故2°式成立，从而结论成立。
8. 分项讨论
例21