文档介绍：第四节对换
一、对换的定义
二、对换与排列奇偶性的关系
三、n阶行列式的等价定义
一、对换的定义
定义
在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做对换.
将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.
例如
备注
相邻对换是对换的特殊情形.
一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
如果连续施行两次相同的对换,那么排列就还原了.
m 次相邻对换
m+1次相邻对换
m 次相邻对换
m+1次相邻对换
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
证明
先考虑相邻对换的情形.
注意到除外,其它元素的逆序数不改变.
当时, , , .
当时, , , .
因此相邻对换改变排列的奇偶性.
设排列为
现来对换与
次相邻对换
次相邻对换
次相邻对换
所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变
奇偶性.
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明
由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数,
而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此
知推论成立.
三、 n阶行列式的等价定义
证明
定理 n阶行列式也可定义为
(其中t为行标排列的逆序数)

首先有
提示
r00是行标排列的逆序数
提示
提示
r1和t1分别是对换后行标和列标排列的逆序数
提示
继续对换使列标排列为标准排列每次对换行标与列标排列逆序数之和的奇偶性不变
提示
r是当列标排列成为标准排列时行标排列的逆序数 t00是列标排列的逆序数
因此D与D1中的项可以一一对应并相等从而DD1
由上面讨论知