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某某民族学院理学院2016届
本科毕业论文(设计)
矩阵的对角化与其应用
学生某某：赵远安学 ……………………………………………1
课题背景……………………………………………………………………………………1
目的和意义……………………………………………………………………………… 1
国内外概况……………………………………………………………………………… 1
预备知识……………………………………………………………………………………2
相关概念……………………………………………………………………………………2
矩阵的对角化………………………………………………………………………………4
特殊矩阵的对角化……………………………………………………………………… 14
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矩阵对角化的应用……………………………………………………………………… 22
总结……………………………………………………………………………………… 24
致谢……………………………………………………………………………………… 25
参考文献………………………………………………………………………………… 26
独创声明………………………………………………………………………………… 28
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1 绪言
本课题研究与矩阵的对角化相关的问题，从对角化的判定展开论述，结合其它学术期刊的结论加上自己的体会，希望能让读者更好的理解矩阵与其对角化的妙处.
课题背景
在由大学数学系几何与代数教研室前代数小组编、王萼芳与石生明修订、高等教育出版的《高等代数》一书中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反响出线性方程组的一些重要性质，，还有大量的各种各样的问题也提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反响为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、外表上完全没有联系的问题，归结为矩阵问题以后却是一样的. 在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、，从不同角度揭示矩阵对角化的判定与其性质，还给出特殊矩阵的对角化与其相应的应用.
课题研究的目的和意义
课题研究的意义：
(1) 研究矩阵对角化的判定定理与应用，为其它学术研究提供便捷的工具；
(2) 比拟全面的介绍矩阵的对角化，方便读者的整体理解和应用；
国内外概况
实数域、复数域等数域上的矩阵的对角化研究已经很成熟，涉与特征值、最小多项式、线性变换方面的对角化证明也已完善，四元素体上矩阵的广义对角化也有小有成就，矩阵对角化与群环域的结合方面的研究也有所突破. 实对称矩阵、正交矩阵、分块儿矩阵的对角化已完善，矩阵的应用也渐渐出现在更多的学科和科研当中. 矩阵的同时对角化、同时次对角化，以与对角化与秩的恒等式等方面的研究根本完善.
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2 预备知识
给出本文内容所涉与的一些定义，方便对后面定理证明的理解.
定义1 常以表示数域上矩阵的全体，用表示单位矩阵.
定义2阶方阵与是相似的，如果我们可以找到一个阶非奇异的方阵矩阵，使得或者 .
根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：； ②对称性：假如相似于，如此相似于； ③传递性：如果相似于，相似于，那么相似于.
定义3阶方阵与是合同的，如果我们可以找到一个阶非奇异方阵，使得=或者.
根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：=；②对称性：由即有；③传递性：由和有.
定义4 式为的阶方阵叫对角矩阵，这里是数〔.
定义5 方阵，假如，T非奇异，是对角阵，如此称可