文档介绍：年第期
从简单的做起
单蹲
南京师范大学数学系,
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:———
解题经验丰富的人都知道:,使得完全图
数学问题做不出来,多半是由于一个比问的边任意二染色时,都有两个单色三角形恰
,简单有一个公共点.
的问题做好了,那么,,不出现
大大下降,甚至迎刃而解. 单色三角形吗
本文举几个图论的问题作为说明.
问题及其解
问题
问题完全图的边染上红色或蓝
下面的五个问题作为问题,.
的难度. 问题是常见的,.
.将完全图的边任意二染色染上证明完全图的每个点引出的条

边中有条同色.
三角形的个数最少是多少
设、、都是红色.
.将完全图的边二染色,必有两个
如果△不是单色三角形,则必有

△。,
完全图,相应的结论不成立.
是单色三角形.
.求最小的正整数,使得完全图

的边任意二染色时,都有个独立的单色三

角形.
得讨论,也应当讨论.
收稿日期:——首先,完全图中的单色三角形是否只
一一一一设厂.
的解集是. 则不等式化为一,.
,全国高中数学联赛新疆维吾尔由于在上单调递增,
自治区预赛因此,.
提示:不等式整理为所以,不等式的解集为
一一。. 一, ∈.
中等数学
有一个呢图没有单色三角形时,每一点引出的四条
,,一定是两条红
角形. 边、两条蓝边.
. 因为每一点有两条红边,所以,红边形成
证法设△: 为红色三角形. 一个圈,蓝边也形成一个圈.
如果△不故完全图没有单色三角形时,染色方
是红色三角形,则必式一定是图.
有一边为蓝色设经过这一彻底的讨论,问题已经做好
为蓝色,如图, 了,可以动手解问题了.
蓝色边用虚线表示,
问题的解
。、
均为蓝色,则△
则,.
样,设、也是如此. 先设为偶数.
于是,、、向、至少引出三条红顶点引出条红边,条蓝边,则以
, 、中有一个引出两条红边设为顶点的异色角个数为
、△又是一个单≤//一.
色三角形. 故异色角总数小于或等于×一.
证法如果一点引出的两条边颜色不不是单色的三角形的个数小于或等于
同,则称它们组成一个“异色角”. ×—÷一.
注意到点引出条红边,条蓝边单色三角形的个数大于或等于
. 一一

÷一一:.

≤× .
另一方面,取集合
于是,异色角的总数小于或等于×.
,,⋯,,
另一方面,单色三角形的角都不是异色
,,⋯,.