文档介绍：年第期
一道巴尔干地区竞赛题的思考
孙岳
天津市实验中学高一班,
中图分类号:. 文献标识码: 文章编号:—一
题目求方程一的正整数解.⋯即一一一. ①
解注意到下证:满足式①的一。,且
一或或一, 一一. ②
“, 同时,对于
”一, 一,× ,
”, 且一。一一. ③
舢, 用数学归纳证明.
其中,∈.
当时,结论成立.
则或. 设时,结论成立.
所以, 下面证明时,结论成立.
设∈,
设一⋯: .于是,
一
一一一
一
: 一××一
一, .
【, 所以,’一.
其中,.∈,. 同理,’一“一.
于是,×. 故一”.
因为\卜×,所以, 由归纳假设,知× 是最小的使
,, 一。一;“④
故×. ,
至此,可以对左右两边模的余数进行——一。..
.
讨论,本文不再详述.
一一∈,.
笔者经过研究,得到下面一般化结论.
命题方程一是常则一一⋯.
数,∈, . 因此,式④的解为
在时,有两组解×一‘∈.
,:,,,. 当,.时,
在时,有一组解,,. —. 一:—. 一‘
证明因为后一,所以, %ד.
—,
中等数学
一⋯≠. 其中,,且一.
于是,当,时,均无证明当时,结论显然成立.
假设当时,结论成立.
一.
所以,,. 设.
因此,式③得证. 当时,
一:×: 斗
对于式②,若≤,则,
”一, 则一.
即一一一.
由归纳假设,一一,
故一; .
中,只可能有
由归纳假设知. 一; .
但由式③知一≥一,即
但又由归纳假设。一,矛盾.
≤~ .
回到原题.
.
由引理知,,⋯模为周期
因此,式②得证.
数列,其最小正周期为,即,,
接下来讨论: 与一的大⋯模恰有个不同