文档介绍：1、实验时期
通过实验进行估算,这是计算圆周率 的的第一阶段
中国:
“圆径一而周三” ----《周髀算经》
(2)“周三径一,方五斜七” ----木工口诀
古埃及：数谷n投针
1. 在白纸上画上许多条间距为d的平行直线
2. 取长为l(l<d)的针,随机地投掷在白纸上,投掷n次,观察与直线相交的次数,记为m.
4、概率方法
针线相交的概率
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随机投针的概率含义
针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]
针与平行线的交角均匀分布于区间
记针的中点为M,x表示点M与较近的平行线间距离,θ表示针与
平行线间夹角
在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针
[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]
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计算针和直线相交的概率是
设投掷n次,相交m次,则针与线相交的频率为m/n
针与平行线相交的条件
n=2212,Buffon:π= ;n=5000,Wolf: π=
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d=45;l=36;n=20000;
x=[];y=[];P=[];Q=[];
for i=1:n,
x1=rand*d*;
y1=rand*pi;
if 2*x1<=l*sin(y1),
x=[x,x1];y=[y,y1];
else
P=[P,x1];Q=[Q,y1];
end
end
m=length(x),
p=2*l*n/(d*m)
s=0::pi;
plot(s,l*sin(s)/2,'k','Linewidth',2)
hold on
plot(y,x,'r.'),plot(Q,P,'b.'),
plot([0,pi],[0,0],'k','Linewidth',2),
plot([0,pi],[,],'k','Linewidth',2)
plot([0,0],[0,],'k','Linewidth',2),
plot([pi,pi],[0,],'k','Linewidth',2)
axis([-,,-2,24])
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利用蒙特卡洛算法计算圆周率
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利用蒙特卡洛算法计算定积分
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2、互素数分布
取一个大整数N,在1到N之间随机取一对整数a,b,它们互素的概率
注：
随机整数 randint(1,1,[])
求a,b最大公约数 gcd(a,b)
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5、数值积分方法
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数值积分方法
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6、代数迭代
对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列
若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)
取
则有
记
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年代
1949
1973
1989
1999
2011
精确位数
2035
100万
10亿
2061亿
2000万亿
“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便
能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨
的一个量。” —— 西蒙·纽克姆
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实验一小结
1、几何算法: 割圆法,正多边形逼近圆
2、分析算法: 无穷级数,有限项逼近无穷项
3、数值分析: 定积分计算,矩形逼近曲边梯形
4、概率统计: 蒲丰投针、整数互素
……
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提示:
思考题
(1) 能设计其它计算圆周率的算法吗?
(2) 如何计算无理数e?
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谢谢您的观看！
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内容总结
1、实验时期。古埃及：数谷粒与称重量：。用圆内接正多边形和圆外切正多边形逼近的方法。 592 653 589 794 238 462 643 383 279 502 88