文档介绍：1 工程数学线性代数讲义 Linear Algebra Materials 卫斌教授主讲惠州学院数学系 Department of Mathematics Huizhou college 2009 年9月第 1,2 讲第一章行列式行列式( determinant [di't ? :min ? nt] ) 是研究线性代数( linear algebra ['? ld? ibr ?]) 的一个重要工具,在线性方程组、矩阵、二次型中都需要用到行列式. 在数学的其它分支里也常常要用到行列式. 因此我们在第一章里就向大家介绍行列式. §1 二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式行列式的概念是从解线性方程组的问题中引进来的. 所谓线性方程组是指未知量的最高次数是一次的方程组. 例如,解二元一次方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b ? ???? ??(1) (2) 用加减消元法(为消 2x ,以 22a ×⑴-12a ×⑵,为消 1x ,以 11a 21 (2) (1) a ? ??)得 11 22 12 21 1 1 22 2 12 ( ) , a a a a x b a b a ? ?? 11 22 12 21 2 2 11 1 21 ( ) a a a a x b a b a ? ??. 于是,当 11 22 12 21 0 a a a a ? ?时,此方程组有唯一解: 2 1 22 2 12 1 11 22 12 21 , b a b a x a a a a ??? 2 11 1 21 2 11 22 12 1 b a b a x a a a a ???.(3) 为便于记忆上述公式,引进记号 11 12 11 22 12 21 21 22 : a a a a a a a a ? ?.(4) 这样规定的式子 11 12 21 22 a a a a 称为 2阶(级) 行列式, 它表示一个数,数 11 22 12 21 a a a a ?叫二阶行列式的值. 利用 2 阶行列式的概念,公式( 3 )中的分子与分母可分别写成 1 12 2 22 b a b a , 11 1 21 2 a b a b . 于是上述结论可叙述为:二元一次方程组当它的系数组成的行列式 11 12 21 22 0 a a a a ?时,有唯一解,并且这个解可以用公式表示: 1 12 2 22 1 11 12 21 22 b a b a x a a a a ?, 11 1 21 2 2 11 12 21 22 a b a b x a a a a ?.(5) 二、三阶行列式类似地,为了讨论三元一次方程组 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ? ????? ????? ???(6) 的解,引进记号 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a := 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a ? ?- 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a ? ?.(7) 由( 7 )式定义的记号称为 3 阶行列式,它按对角线法则( 沙路法: 主对角线及其平行线上的元素乘积为正,副(次)对角线及其平行线上元素乘积为负):对角线法则只适于二、三阶行列式. 用消元法解三元一次方程组( 6) ,可得到与二元一次方程组类似的结论:方程组( 6), 当它的系数组成的行列式 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 a a a d a a a a a a ? ?时,有唯一解,并且这个解可以用 3 阶行列式表示: 1 12 13 2 22 23 3 32 33 1 b a a b a a b a a xd ?, 11 1 13 21 2 23 31 3 33 2 a b a a b