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求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，如此，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公word
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求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，如此，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、利用
例2．假设和分别表示数列和的前项和，对任意正整数
，.求数列的通项公式；
解：
……2分 当
当……4分
练****1. 正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
当a1=3时，a3=13，a15=73a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3
三、累加法
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例3 数列满足，求数列的通项公式。
解：由得如此
所以数列的通项公式为。
评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4 数列满足，求数列的通项公式。
解：由得如此
所以
评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
四、累乘法
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例6 数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，如此，故
所以数列的通项公式为
评注：此题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例7数列满足，求的通项公式。
解：因为①
所以②
用②式－①式得
如此
故
所以③
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由，，如此，又知，如此，代入③得。
所以，的通项公式为
评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
或
例8〔2006年某某卷〕数列满足
求数列的通项公式；
解：
是以为首项，2为公比的等比数列。
即
例9．数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，如此,解之得：
所以
满足，且。
〔1〕求；
〔2〕求数列的通项公式。
解：〔1〕
〔2〕
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∴
六、待定系数法
例10数列满足，求数列的通项公式。
解：设④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤
由与⑤式得，如此，如此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，如此，故。
评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例12 数列满足，求数列的通项公式。
解：设⑧
将代入⑧式，得
，如此
等式两边消去，得，
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解方程组，如此，代入⑧式，得
⑨
由与⑨式，得
如此，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，如此。
评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
七、对数变换法
例13 数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，如此
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，故
代入式，得
由与式，
得，
如此，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，如此，因此
如此。
评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
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八、迭代法
例14数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，