求数列通项公式十种方法,例题详解.docx

文档介绍：求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法） 、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）
特征根法

、

、
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形， 代换转化为等差数列或等比数
列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于： an 1 an f (n) ---------- 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若 an 1 an f ( n) (n 2) ，
a2
a1
f (1)
a3
a2
f (2)
则
L
L
an 1
an
f ( n)
n
两边分别相加得
an 1a1
f (n)
k
1
例 1 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2n 1， a1 1，求数列 { an} 的通项公式。
解：由 an 1
an
2n
1得 an 1
an
2n 1 则
an (an
an 1 ) (an 1
an 2 ) L
(a3
a2 ) (a2
a1) a1
[2( n
1)
1]
[2( n
2)
1]
L
(2
2 1)
(211)1
2[(n
1)
(n
2)
L
2 1]
(n
1)
1
(n
1)n
1
2
2
(n 1)
(n 1)(n
1)
1
n2
所以数列 { an } 的通项公式为 an
n2
。
例 2
已知数列 {
an
} 满足 a
n 1
a
n
2 3n
1， a
3 ，求数列
{ an }
的通项公式。
1
解法一：由 an
1
an
2 3n
1得 an 1
an
2 3n
1 则
an ( an
an 1 ) (an 1
an 2 ) L
(a3
a2 ) (a2
a1 ) a1
(2
3n 1
1)
(2
3n
2
1)
L
(2
32
1)
(2 31
1) 3
2(3n 1
3n 2
L
32
31 )
(n
1)
3
2 3(1
3n
1 )
(n
1)
3
1
3
3n
3
n
1
3
3n
n
1
所以 an
3n
n
1.
解法二： an 1
3an
2
3n
1 两边除以 3n 1 ，得 an
1
an
2
1
，
3n
1
3n
3
3n
1
则
an 1
an
2
1
3
n 1
3
n