文档介绍：
/学 1 .了解定积分的概念.（数学抽象）<br****直观想象）
:目 ，了化很小,近似地等于一个常数，不
妨认为它近似地等于右端点处的函数值f空 二四 ，从图形
I n ) \ n )
上看,
样，在区间巴土丑,虫 上，用小矩形的面积AS%近似地代替AS., n n
即在局部小范围内"以直代曲” /则有ASi = AS\ = f[^—-Ax=
I n J "nJ
2 1 =* (n2 + 2ni + i2)(i =1,2,..., n)①
求和
由①可推知所求的面积Sn为
n
i=l
n2+2ni+i2
n n n 、
En2+2nEi+Ei2
i=i i=i i=i j
_x
n3 + 2n-
n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
2 +
从而得到S的近似值
S"2+f +孔1+凯1+土).
取极限
可以看到,当n趋向于无穷大时，即Ax趋向于。时Sn = 2 + § +| [1+J [1+土]趋向于S,从而有
S = lim Sn=lim 文 f (—\-
n-°° n-8 旨 \ n J n
= lim ]2+§+?i+Hi+土J
nToo 1- 」
= 2 + 0 + ? (1 + 0)(1 + 0) = 2+ ? =|-,
解题策略
第一步：［a , b］中等间隔地插入n - 1个分点,将其等分 成n个小区间［xi-1 , Xi］(i= 1 , 2 , , n),小区间的长度Axi = Xi - Xi
第二步:近似代替，“以直代曲”.用矩形的面积近似代替小曲边梯形 的面积，求出小曲边梯形面积的近似值；
第三步： ；
第四步：，Sn-S , S即为所求.
(1)在“近似代替”中，在每一个小区间
T」上通常取一个端点的 n n
值代入计算，既可用每个区间的右端点的函数值，也可用左端点的函 数值,这样做是为了计算简便.
当f(&)
为负值时，取|f(&)|为一边构造小矩形.
求和时可用到一些常见的求和公式,如：
22 + 32 + ... + n2
n(n+ 1 )
2
n ( n+1)
1+2 + 3 + ... + n= 2 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
,l3 + 23 + 33 +...+n3 =
“跟踪训练…
求由抛物线y = x2与直线y = 4所围成的曲边梯形的面积.
因为y = x2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积
应为抛物线y = x2(xN0)与直线x = 0 ,y = 4所围图形面积S阴影的2倍,
F面求s阴影.
y = x2 ( x>0 ),
得交点为(2,4),如图所示,先求由直线x = 0,x = 2,y = 0和曲线y =x2围成的曲边梯形的面积.
(1)分割
2 ( i - 1 )
将区间[0 , 2]n等分，则Ax ，取& =—-一
(2)近似代替、求和
n
Sn二£
i=l
—)2
2(i-l) 2
•——
n J n
Q
[I2 + 22 + 32 + ... + (n - I)2]
⑶取极限 s = limsn = lim | ]i * ]i -阳=|.
nToc nToo [ 一 -
所以所求平面图形的面积为s阴影= 2x4 -1 = ¥ .
32
所以2S阴影=y ,即抛物线y = x2与直线y = 4所围成的图形面积为 32
类型二求变速直线运动的路程（数学运算）
题组训练
1物体运动的速度和时间的函数关系式为v（t） = 2t（t的单位:h； v 的单位：km/h）,近似计算在区间[2 , 8]内物体运动的路程时，把区间 6等分，则过剩近似值（每个&均取值为小区间的右端点）为 km.
，可得过剩近似值
为 s = （2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 + 2x8）xl = 66 km.
答案：66
2 .汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t的位移s= 车做变速直线运动,在时刻t的速度v(t) = - t2 + 5(单位：km/h),问 它在0<t<2(W : h)这段时间内的路程s(单位:km)是多少？