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《复数》知识点总结
1、复数的概念
形如 a bi ( a,b R) 的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2 1， a 叫做复数的
实部， b 叫做复数的虚部 .
1
是实数，且－ 1< <2
z
（1）
求|z|
的值及 z 的实部的取值范围；
（2）
设 M
1
z ，求证： M为纯虚数；
1
z
（3）
求
M 2 的最小值。
解：（ 1）设 z＝ a＋ bi （ a， b
R, b
0
）
a
bi
1
(aa 2
a
)
(b
b
)i ,
因为，
是实数， b 0
a
bi
b2
a2
b2
所以， a2
b2
1 ，即 |z| ＝ 1， 因为
＝ 2a，－ 1<
<2，
1
a 1
2
所以， z 的实部的取值范围（－
1 ,1）
2
（2） M
1
z ＝ 1
a
bi
(1
a
bi )(1
a
bi )
1 a 2
b2
2bi
bi
（这
1
z 1
a
bi
(1
a
bi)(1
a
bi )
(1
a) 2
b2
a
1
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里利用了（ 1）中 a 2
b2
1 ）。
因为 a
（－
1
,1）， b
0
，所以 M为纯虚数
2
（3）
M
2
2a
b 2
1
a2
2a
a
1
(a
1) 2
2a
1) 2
a
1
(a
2a 1
a
2
2[( a
1)
a
1
] 3
1
1
因为， a
（－ 1 ,1），所以， a＋ 1>0， 所以
M 2
2× 2－ 3＝ 1，
1
2
当 a＋ 1＝
，即 a＝ 0 时上式取等号，
所以，
M 2 的最小值是 1。
a
1
4、创新类
例 4．对于任意两个复数
z1
x1
y1i, z2
x2
y2i ( x1 , x2 , y1 , y2
R ) 定义运算“⊙”为
z1 ⊙ z2 ＝ x1 x2
y1 y2 ，设非零复数
1 ,
2 在复平面内对应的点分别为
P1 , P2 , 点 O为坐标原
点，若 1⊙
2