文档介绍：第五章微分中值定理及其应用
为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题,需要一个联系局部与整体的工具,这就是微分中值定理.
费马定理
闭区间连续函数最值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
在数学分析中组成一段
很漂亮的推理小链条.
应用: 求极限的待定型、函数作图、解极值问题
§1 微分中值定理
称在点达到极大(小)值,如果存在,使得
是在的最大(小)值,即
, .
(或,)
这时,称点为的极值点.。极大值极小值统称为极值.
(费马定理) ,且在点可导,则.
(闭区间连续函数最值定理) 若在闭区间上连续,,使得
=, =.
定理的意义:该定理是说函数的值域
=
有最大数与最小数,这一点只有对闭区间上的连续函数才保证恒成立.
例如,在开区间连续,但在函数无最大值。
在开区间连续,但在函数无最大值和最小值.
虽然定义在闭区间,但不连续,无最大值
,分点为。则,两区间中至少有一区间满足性质:另一区间中的每一个点,在这个区间中存在一个点,使得。事实上,不妨设满足上述性质,则,,使得。因为若不然,,使得,有,即满足上述性质。
记,二等分,分点为,则,两区间中至少有一区间满足上述性质,将这个区间记为;二等分,分点为,则,两区间中至少有一区间满足上述性质,将这个区间记为;…,如此继续下去,得一区间套,由区间套定理,存在唯一的实数。
下证。,,,使,但。由区间套的构造,,使得。对, ,使,但。于是,,使得。…,如此继续下去,得一数列,满足,,且。由于以及的连续性,,即。
最小值的情形,只需考虑,便化为已证得最大值的情形。
,用实数基本定理证明。不妨设
都不是在的最大值。扩充,使它在时等于,在时等于,则它在连续,令
使得,
这时R的一个分划,事实上,由知不空,显然,而对任意,我们来证,如果不然,设,由知存在,使任意有,由此推出存在,使得任意,有,因此=矛盾,这就证明了构成R的一个分划,由实数基本定理,存在唯一的,使得对任意,有,下面来证明
,
先考虑的情形,如果不然,存在,有,这时存在,使得,且任意,有,由,知存在,使得任意有,从而。显然(否则),这与对一切成立矛盾,这就证明了对任意,有
其次考虑的情形,任意,存在使得,因此当时,有
由的定义,知存在,使,若存在,使则由已证的的情形,知,结果得证;若任意,有,则由,在中令取极限,得。
最小值的情形,只需考虑,便化为已证得最大值的情形,。
(罗尔(Rolle,1652-1719)定理) 若在闭区间连续,在开区间可导,且=,则在中存在,使得=0.
注意:定理中的三个条件缺一不可!
如=,在连续,,但不存在使
=0,这是因为在=0点不可导.
如= 满足在可导,=,
但没有使=0,这是因为在不连续。
如=,它在不满足端点值相等,即,尽管它在连续且可导,但显然定理结论不成立.
定理几何意义:在定理条件下,存在属于,
曲线在的切线平行于轴。
证明由在连续,=,则在为常数,=