文档介绍：第四章微商与微分
概念清楚,运算熟练与准确,是本章的基本要求.
§1 微商概念及其计算
例1 质点作变速直线运动的瞬时速度.
设质点沿直线作变速运动,运动规律,
问题:求质点在时刻的瞬时速度.
从到一段时间内,质点所走过的路程为
平均速度为
当愈小,则平均速度就愈接近瞬时速度,因而当时,平均速度的极限就是瞬时速度,即
==
例2 非均匀棒的密度.
均匀的棒:它的任何一段的质量,都与它的长度成正比,
,常数是棒的单位长的质量,
称为均匀棒的(线)密度.
非均匀棒:在棒的某些地方物质分布得密一些,有些地方则不太密,
因而棒的同样长度的两段,一般说来就有不同的质量.
设棒位于数轴的上,,
对应的这一段的质量是,
问题:求出棒的密度。
考虑从到+之间的一段上的质量
平均密度为
愈小,则平均密度就愈精确地描写棒在的密度情况,因而当时,平均密度的极限
例3 曲线切线的斜率.
设函数,
问题:求曲线上点切线的斜率。
切线定义:
曲线上两点作成的割线,当点沿曲线无限接近点时的极限位置。
割线的斜率:
曲线上点切线的斜率
上面三个例子讨论了三个不同的问题:物理的,几何的
抽去实际意义,在数学上有共同的数量关系:
函数的增量比自变量的增量当的极限
,函数在该点的相应改变量为
=.
若极限=
存在,则称函数在点可导,并称极限值为在的微商(differential quotient)或导数(derivative),记为
,或,或
若令,则也有
=
注1 质点运动的速度是路程对时间的导数;
非均匀细棒的密度是质量对长度的导数;
曲线切线的斜率是函数对自变量的导数。
(这也是导数的几何意义)
注2 记号是整体,不是商(至少现在是这样)
注3 导数是逐点定义的,它依赖于给定的点。当在定义域的某子
集上变动时,导数均存在。则构成导函数,记为
或或,
求在的微商.
解=()
=,
==2
求在的微商.
解=()2(+)sin,
因此,
在点可导存在
=+
在点连续
若在点可导,则在点连续.
函数在点不连续,则它在点一定不可导。
在点不可导在点不连续
在点可导在点连续
函数,它在点连续,但在点不可导
===1,
===-1,
左极限不等于右极限,即差商的极限
不存在,所以在点不可导
若存在,则称在点有左导数,记为;
若存在,。
在点可导
在点,都存在且相等.
若在区间可导,而在有右导数,在有左导数,则称在闭区间可导.
微商与连续
的关系
微商定义
反函数的
微商法则
复合函数
微商法则
微商的四则
运算法则
基本初等函数的微商
初等函数的微商
微商定义和微商的四则
两个重要极限运算法则
反函数的微商法则
复合函数微商法则
基本初等函数的微商公式
(1) 常值函数. =0.
===0
(2) ,其中是正整数
=
=
因此=,
(3) 正弦函数, (用到重要极限)
余弦函数,
对数函数,
=
=,(用到重要极限)
. =0.
,
,
, =, =
微商的四则运算法则.
若函数和在点可导,则
(i) =
(ii) =
(iii) =。
证明(i) 因为
=
=,
所以==。
由于
=+
=+
注意到可导必连续,则
=
=
由于
=
=
=
同样利用可导必连续得
。
利用商的微商运算法则,立得
反函数的求导法则
若函数在点附近连续且严格单调,又,则其反函数在点=可导,且
=
证明由在附近连续且严格单调,,
若,则,
且当时有,故由复合函数求极限法则得
=
==
。
指数函数()。
特别,
反三角函数
, 则;
, 则;
, 则;
, 则。
, 则
, 则
复合函数的求微商法则
(复合函数求导法则,链式法则) 若函数在点可导,在点可导,则复合函数在点可导,且
或
证明定义函数
则===,
故在点连续,在