文档介绍：§2 洛必达法则
若,,则称为的待定型。
类似的待定型有:,,,,,,。
,,, ,
,,
下面的洛必达(Lhospital,1661一1704)法则,有助于我们求解这类待定型的极限.
若
(1) ,在可导且,其中;
(2) ==0;
(3) =,
在直观上是不难理解的:两个无穷小量的比等于它们变化速度的比.
则.
证明补充定义==0,则当时,用柯西中值定理
==,.
当时,,故
注1 极限可以是有限数,也可以是或,结论仍成立。
注2 对,,定理条件作相应的改变后,结论仍成立。
注3 对,,定理条件作相应的改变后,结论仍成立。
。
若
(1) ,在可导,且,其中是某个实数;
(2) ==0;
(3) =,
则=.
证明作变换,则
==
=== 证完。
例1 求
解==-
例2 求极限
解1 (罗比达法则)
(因子分解)
(罗比达法则)
解2 (无穷小代换)
(罗比达法则)
(罗比达法则)
关于待定型,也有类似的洛必达法则.
若
(1) ,在可导且,其中;
(2) ==;
(3) ,
则=
思考:一个想法是用待定型的结果:
而==
有人说
则, 得证。???
另一个想法是用待定型的证明方法。但这时不可能补充定义和,使得柯西中值定理可以直接应用。
我们尝试修改一下的证明方法。考虑
=
第一项不好处理, 考虑
=
用柯西中值定理,考虑充分接近于的一点>,则
于是=()+()
在与之间
第二项好处理,下面看第一项。
-=
第二项在固定后可任意小(因),问题在第一项仍保留了的形式。重新考虑
-=
=
=-
这样两项均可任意小。总结上述
=(-)+()
,的情形只需把证明略加修改即可。对任意(不妨设<1),由假设知存在(不妨设),当时,有
在内取定,则对中任意,有
=,
同时还有
于是只要且,有
++
≤+。
对固定的,由=,知存在,只要,有
<.
取=,则只要,就有
<+=
。
注同理可证当时待定型的洛必达法则.
例4 证明=0,其中
解用洛必达法则,有
===0
根据函数极限与数列极限的关系,便得所要证的结果。
其他类型的待定型,可化为上述两种待定型解决。
待定型可化为或待定型.
若,,则
==,
待定型可化为待定型。
若==+,则
=-=,
待定型可化为待定型
若=1,=,则
=,
,待定型可化为待定型(同上)。
求,