《数学分析》课件 第五章 微分中值定理及其应用4.doc

文档介绍：§4 函数的最大值最小值问题
最值与极值的重要区别: 极值是一点局部的形态;
最值是某区间整体的形态。
先讨论必要性: 是在内的最大(小)值,
必是在的极大(小)值点,
是的稳定点或不可导点.
稳定点
在的可能的最值点: 不可导点
区间端点
下面就两种常见的情形给出判别法,以最大值为例说明.

设在连续,这时在必有最大值.
则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较(如果可能的话),最大者即是最大值.


设在可导,,则是最大值点.
注意强调最值的存在性
例1 一块边长为a的正方形,在四个角上截去同样大小的正方形,做成无盖的盒,问截去多大的小方块能使盒的容积最大?

解设为截去的小方块的边长,则盒的容积为。
显然,在可导,且
令得或。因此在中有唯一的稳定点。
由实际问题本身知在中必有最大值,故知最大值为。即截去的小的方块边长为时,盒的容积最大。
例2 求函数在的最大值和最小值
解,
因此,
故的稳定点为,不可导为。
比较所有可能的最值点的函数值:

即得最大值为,最小值为。

在正午时,甲船恰在乙船正南处,以速度向正东开出;乙船也正以速度
向正南开去(图5—15).已知两船航向不变,试证:下午二时,两船相距最近.
证明设小时后,两船相距公里,则显然有
,
求的最小值等价于求的最小值。

令的唯一稳定点。
比较和点的值:
,,
故时函数达到最小值,即下午二时,两船相距最近.
例4 做一个圆柱形无盖铁桶,容积一定,,才能最省铁皮?

解设铁桶底半径为,高为(见图5—14),则所需铁皮面积为
利用巳知条件,

于是问题化为求函数在内的最小值问题.
。
令,得到唯一的稳定点,又由实际问题本身知在
必有最小值,从而唯一的稳定点必是最小值点,此时有,
即当底半径与高相等,均为时,最省铁皮。
例4 根据物理学的费马原理,Ⅰ,Ⅱ两种介质,Ⅱ中的传播速度分别为和。问:光线由介质I中的点A到介质Ⅱ中的点B,应走哪一条路线?
,B作L的垂线,设垂足为,,设,并选定为坐标原点(图5-16)。
光线在同一介质中的传播途径应