文档介绍：电磁场与电磁波经典课件
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第一章矢量分析
矢量分析基础
一、矢量与矢量场
1、标量：
2、矢量:
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示：
矢量的大小或其中取得最大值的方向
梯度的计算式：
引入哈密顿算子，
即可缩写为
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梯度的表达式：
圆柱坐标系
球坐标系
直角坐标系
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梯度与方向导数的关系
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
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矢量场的通量散度
一、矢量线（力线）
矢量场的通量
二、矢量场的通量
矢量线的疏密表征矢量场的大小；
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
若S 为闭合曲面
若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：
为矢量沿有向曲面S 的通量。
3）物理含义：以流速场为例
讨论：1）面元矢量定义；
2）
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三、矢量场的散度
1、散度的定义
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度是一个标量；
通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若，闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若，闭合面内有吸收矢量线的负源；
c) 若，闭合面内无源。
在场空间中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M 点处的散度为：
2)
矢量场的散度是空间坐标的函数；
通量：是一个积分量，范围比较大，无法反映每一点的性质。
散度：是一个微分值，比较小，能够反映每一点的性质。
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3、散度的计算
1) 在直角坐标系下：
( 无源）
( 正源)
负源)
3) 表征该点单位体积内源的强度。
讨论：在矢量场中，
1）若，则该矢量场称为有源场，为源密度；
2）若处处成立，则该矢量场称为无源场。
哈密顿算符
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2) 在圆柱坐标系下：
3) 在球面坐标系下：
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
该公式表明了区域V 中场与边界S上的场之间的关系。
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矢量场的环流旋度
一、矢量的环流
环流的计算
环流的定义：
设有矢量场，沿场中任一闭合的有向路径l的积分，叫作沿曲线l的环流。即：
讨论：1）线元矢量的定义；
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动。
2)
反映矢量场漩涡源分布情况。
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二、矢量的旋度
1. 环流面密度
在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处的环量面密度
M
环流面密度的计算公式：
其中为点M处的方向余弦
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2. 矢量场的旋度
在直角坐标中，若定义F为：
式中：表示面元单位法线方向；
则称：矢量F为矢量A的旋度，记作：
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示
物理意义：旋涡源密度矢量。
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3. 旋度的物理意义
4. 旋度的计算
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
1) 在直角坐标系下：
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三、斯托克斯定理
四、矢量场旋度的重要性质
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
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亥姆霍兹定理
一. 亥姆霍兹定理
在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。这就是亥姆霍兹定理的内容。
二. 矢量场的分类
根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：
1) 调和场
若矢量场在某区域V内，处处有：或
则在该区域V内，场为调和场。
注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。
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