文档介绍：第三节正定二次型和正定矩阵
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一、正定二次型正定矩阵
定义
由定义，可得以下结论：
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
代入二次型，得
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由上述两个结论第三节正定二次型和正定矩阵
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一、正定二次型正定矩阵
定义
由定义，可得以下结论：
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
代入二次型，得
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由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。
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定理
推论
实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值
全为正。
☎
正定矩阵。
这是因为：
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解
例1 判别二次型
是否正定。
二次型对应的矩阵为
,
)
1
4
)(
2
(
2
+
-
-
=
l
l
l
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全为正，
因此二次型正定。
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定理
设矩阵A正定，则
（1）A的主对角元全为正；
证明
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上述定理是A正定的必要条件，但不是充分条件。
定理
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解
例2 判别二次型
是否正定。
二次型对应的矩阵为
它的顺序主子式为：
因此 A是正定的，
即二次型 f 正定。
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解
例3 设有实二次型
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
f 的矩阵为
顺序主子式为：
解得
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☎
实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得
实际上，正定二次型的规范形为
即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E ，
即存在可逆矩阵C ，使
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☎
证
因为
于是
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2、其它有定二次型
定义
如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。
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显然，A是负定（半负定 ）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：
（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；
（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；
（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；
（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；
（5）若A负定，则A的对角元全为负。
注意: 。
， A也未必是半正定的。
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例如，设矩阵
显然A的顺序主子式
但对角元有正有负，显然A是不定的。
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例5
判定下列二次型是否是有定二次型。
解
（1）f 的矩阵为
顺序主子式
所以 f 是负定的。
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例5
判定下列二次型是否是有定二次型。
解
（2）f 的矩阵为
顺序主子式
所以 f 是不定的。
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练习：
P222 习题五
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END
END
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选用例题
1、
解
C是正定的。
且C是实对称阵，故C是正定矩阵。
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证
必要性
充分性:
将上述过程逆推,即可得证.
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