文档介绍：2021全国高中数学联赛挑战极限【平面几何试题】
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2022全国高中数学联赛挑战极限--------[平面几何试题]
1. 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆
即，整理得
，
故，可得，………40分
从而，，为等腰直角三角形．因，那么．
又也是等腰直角三角形，故，，．
故． …50分
[解法二] 〔Ⅰ〕如答一图2，连接交的外接圆于点〔因为在圆外，故 在上〕．
答一图2
过分别作的垂线，两两相交得，易知在内，从而在内，记之三内角分别为，那么，又因，，得，同理有，，
所以∽． …10分
设，，，
那么对平面上任意点，有
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，
从而 ．
由点的任意性，知点是使达最小值的点．
由点在上，故四点共圆． …20分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，的最小值
，
记，那么，由正弦定理有，从而，即，所以
，
整理得， …30分
解得或〔舍去〕，
故，．
由=,有，即，
整理得，故，可得，…40分
所以，为等腰直角三角形，，，因为，点在⊙上，，所以为矩形，
，故，所以
． …50分
：设AE = AF = x，BD＝BF＝y，CD＝CE＝z，AP＝m，PD＝n．
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因为，所以．
延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，那么P，B，Q，C四点共圆，令DQ＝l，那么由相交弦定理和切割线定理可得
， ①
． ②
因为∽，所以，故
． ③
在Rt △ACD和Rt △ACB中，由勾股定理得
， ④
． ⑤
③－②，得 ， ⑥
①÷⑥，得 ，
所以 ， ⑦
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②×⑦，结合④，得 ，
整理得 ． ⑧
又⑤式可写为 ， ⑨
由⑧，⑨得 ． ⑩
又⑤式还可写为 ，
把上式代入⑩，消去，得
，
解得 ，
代入得， ，
将上面的x，y代入④，得
，
结合②，得 ，
从而 ，
所以，，即 ．
〔1〕设Q，R分别是OB，OC的中点，连接EQ，MQ，FR，MR，那么
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，
又OQMR是平行四边形，所以
，
由题设A，B，C，D四点共圆，所以
，
于是 图1
，
所以 ，
故 ，
所以 EM＝FM，
同理可得 EN＝FN，
所以 ．
〔2〕答案是否认的．
当AD∥BC时，由于，所以A，B，C，D四点不共圆，但此时仍然有，证明如下：
如图2所示，设S，Q分别是OA，OB的中点，连接ES，EQ，MQ，NS，那么
，
所以 ． ①
又，所以
． ②
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而AD∥BC，所以
，