同济大学线性代数第六版课后的答案解析(全).doc

文档介绍：...wd...
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(4).
解
=abcd+ab+cd+ad+1.
:
(1)=(a-b)3;
证明
=(a-b)3.
(2);
证明
.
(3);
证明
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(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)
(c4-c3,c3-c2得)
.
(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
证明
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.
证明 用数学归纳法证明.
当n=2时,,命题成立.
假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即
Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,
那么Dn按第一列展开, 有
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=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.
因此,对于n阶行列式命题成立.
=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得
,,,
证明,D3=D.
证明　因为D=det(aij),所以
.
同理可证
.
.
(Dk为k阶行列式):
(1), 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
解
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(按第n行展开)
=an-an-2=an-2(a2-1).
(2);
解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得
,
再将各列都加到第一列上,得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3);
解 根据第6题结果, 有
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此行列式为范德蒙德行列式.
.
(4);
解
(按第1行展开)
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.
于是 .
而,
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