文档介绍：高级运筹学非线性规划教材及参考书指定教材:沈荣芳,运筹学高级教程(第二版),高等教育出版社, 参考资料: ,管理运筹学(第三版),高等教育出版社, 2. FREDERICK S. HILLIER GERALD J. LIEBERMAN , INTRODUCTION TO OPERATIONS RESEARCH , Ninth Edition,2010 ,运筹学与最优化方法(第二版),***出版社, 2012 4. David G. Luenberger , Linear and Nonlinear Programming , Springer , 2008非线性规划非线性规划在科学管理和其他领域中,大量应用问题可以归结为线性规划问题,但是,也有另外一些问题,其目标函数和(或)约束条件很难用线性函数表达。如果目标函数和(或)约束条件中包含有自变量的非线性函数,则这样的规划问题就属于非线性规划。一般来说,求解非线性规划问题比线性规划问题困难得多。而且, 也不象线性规划那样有单纯形法这一通用的方法,非线性规划目前还没有适合于各种问题的一般算法,这是需要深入研究的一个领域。非线性规划研究核心问题: ?最优性条件(必要条件,充分条件, Lagrange 乘子理论,灵敏性分析,对偶理论) ?迭代算法解: 设投资决策变量为问题归结为总资金的限制条件下, 极大化总收益和总投资之比, 数学模型为 111 max 0 . . (1 ) 0, ( 1, 2, , ) n i i in i i in i i i i i b x Q a x a x A s t x x i n ?????? ????? ? ??????? 1, (i=1,2, …,n) 0, iix ii ???决定投资第个项目决定不投资第个项目例:投资决策问题某企业有 n个项目可供选择投资, 并且至少要对其中一个项目投资. 已知该企业拥有总资金 A元, 投资于第 i(i =1,2, …,n)个项目需要花资金 a i元, 并预计收益为 b i元, 试选择最佳投资方案使得总收益和总投资之比最大. 一般地,非线性规划的数学模型为 min ( ) x X f x ??? max ( ) min ( ) x X x X f x f x ???由于可转化为等价模型,故仅考虑极小化问题. 其中 X称为可行域, n X R ?可行域中的点称为可行点, f(x)称为目标函数 1 2 ( , , , ) Tn x x x x ??当时,非线性规划模型称为无约束问题; 当时,非线性规划模型称为有约束问题 n X R ? n X R ?使f(x)在X上取得最小值的点称为最优解,对应的目标函数值称为最优值定义:如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则称这种规划为非线性规划问题。为统一起见,称以下模型 min f(x) . g i(x ) ≤0 i =1 ,2,…, m (1) h j(x )=0 j =1 ,2,…,l 为标准的非线性规划模型, 其中 f(x ),g i(x ),h j(x) 中至少有一个是 x的非线性函数. 称g i(x ) ≤0为不等式约束, h j(x )=0 为等式约束. ??| ( ) 0, 1, 2, , ; ( ) 0, 1, 2, i j D X g X i m h X j p ? ????? ?满足所有约束条件的 x称为可行解, 所有可行解构成的集合称为可行域。例: 考虑如下非线性规划问题: min f(x )= [( x-14) 2 +(y-15) 2 ] 1/2 . (x - 8) 2 + ( y - 9) 2≤49 x ≥ 2,x ≤ 13 x + y ≤24 非线性规划的最优解未必在顶点处达到; 非线性规划的最优解是一组同心圆最先与可行域相交的点,在可行域的边界上达到二维非线性规划问题的图解分析例:请考虑如下非线性规划问题: min f(x )= ( x-8) 2 +(y-8) 2 . (x - 8) 2 + ( y - 9) 2≤49 x ≥ 2,x ≤ 13 x + y ≤24 非线性规划的最优解在可行域内部达到