文档介绍：第三章第三章幂级数展开幂级数展开在实变函数中,把函数展开为幂级数是非常有用的,在实变函数中,把函数展开为幂级数是非常有用的,例如:许多初等函数和特殊函数可以用级数来定义;例如:许多初等函数和特殊函数可以用级数来定义;通过截取幂级数的前面有限项可以作为函数的近似通过截取幂级数的前面有限项可以作为函数的近似表达式;许多常微分方程和偏微分方程的求解需要表达式;许多常微分方程和偏微分方程的求解需要借助级数方法。在复变函数中,级数同样是研究和借助级数方法。在复变函数中,级数同样是研究和计算的重要工具。计算的重要工具。§§1 1 复项级数复项级数1. 1. 复数项级数复数项级数定义:定义:复数项的无穷级数复数项的无穷级数::121nnn∞==++???++???∑ββββ12nnS=++???+βββ前前nn项和称为级数的部分和项和称为级数的部分和::若其部分和序列若其部分和序列SSnn存在有限极限,则称无穷级数存在有限极限,则称无穷级数收敛,而这极限值称为该级数的和收敛,而这极限值称为该级数的和, , 记作:记作:1nn∞=∑β1limnnnnSS∞→∞===∑β2. 2. 复函数数项级数复函数数项级数121()()()()nnnfzfzfzfz∞==++???++???∑{()},(1,2,...)nfzn=定义定义::是定义在区域是定义在区域DD上的复变函上的复变函数序列,则称表达式数序列,则称表达式为为复变函数项级数复变函数项级数(简称复函数项级数)。(简称复函数项级数)。1()()nnfzfz∞==∑如果复函数项级数在如果复函数项级数在DD内处处收敛,则称级数在内处处收敛,则称级数在DD内收内收敛,此时级数的和存在并记作敛,此时级数的和存在并记作f(z)f(z),,称为称为和函数和函数::定义定义::对于复变函数项级数对于复变函数项级数收敛收敛的充分必要条件是对的充分必要条件是对于于DD内各点内各点zz,,任意给定任意给定εε>0>0,必有存在,必有存在N(z, N(z, εε)),,使得使得对于任意的正整数对于任意的正整数pp,,当当n>N(z, n>N(z, εε))时,有时,有1|()|npkknfz+=+<∑ε上述收敛实际上是一种上述收敛实际上是一种““逐点收敛逐点收敛””,还可以加强定义:,还可以加强定义:如果对于任意给定的如果对于任意给定的εε>0>0,存在一个与,存在一个与zz无关的自然数无关的自然数NN,,使得对于区域使得对于区域DD内内((或曲线或曲线LL上上))的一切的一切zz满足上面的满足上面的不等式不等式,,则称级数在则称级数在DD内内((或曲线或曲线LL上上))一致收敛一致收敛。。我们我们通常讲的收敛都是指一致收敛通常讲的收敛都是指一致收敛。。3. 3. 幂级数幂级数定义定义::形如下列形式的级数:形如下列形式的级数:200102000()()()()zzczzczz∞=?=+?+?+???+?+???∑称为称为以以zz00为中心的幂级数为中心的幂级数,其中,其中zz00,c,c11,c,c22,,……ccnn,,……都为都为复常数。幂级数实际上是一类特别的解析函数项级复常数。幂级数实际上是一类特别的解析函数项级数,它不仅是研究解析函数的重要工具,而且在实数,它不仅是研究解析函数的重要工具,而且在实际计算中也发挥重要作用。际计算中也发挥重要作用。对于幂级数,我们主要关心它的收敛问题,即对于幂级数,我们主要关心它的收敛问题,即收敛收敛域是怎样的以及如何求收敛域域是怎样的以及如何求收敛域。。具体计算幂级数的收敛半径,主要根据下面定理:具体计算幂级数的收敛半径,主要根据下面定理:定理定理((比值法比值法))如果如果,那么收敛半径,那么收敛半径::1lim||+→∞=≠λ11lim||nnncRc→∞+==λ定理定理((根值法根值法))如果如果,那么收敛半径,那么收敛半径::lim||0nnnc→∞=≠μ11lim||nnnRc→∞==μ例例11:求幂级数的:求幂级数的收敛半径收敛半径21nzzz+++???++???解:解:n= 1= 1,,应用定理求收敛半径应用定理求收敛半径::1lim1nnncRc→∞+==因此收敛圆是以因此收敛圆是以z=0z=0为圆心,收敛半径为为圆心,收敛半径为11,收敛,收敛圆内部表示为圆内部表示为1z<事实上,在收敛圆内,即事实上,在收敛圆内,即时,幂级数的和为:时,幂级数的和为:1z<211(1)1-nzzzzz+++???++???=<关于幂级数的主要性质有下列定理关于幂级数的主要性质有下列定理::定理定理:幂级数在其收敛圆:幂级数在其收敛圆DD内内(1)(1)内闭且一致收敛(即在含于内闭且一致收敛(即在含于DD内的任一有界闭域上内的任一有界闭域上一致收敛)。一致收敛)。(2