简明线性代数答案.docx

文档介绍：习题4、1
、
‘5 6-3、
⑴-101;
[1 2 1 J
解：方阵A的特征多项式为
2-5
-6
3
2-2
-6
3
1
A
-1
=
0
-1
-1
- + 211 = | -6A-' +3A + 2I\=\f(A)| = /■⑴ f(2)f(3) = 25、
设有四阶方阵A满足条件| 3I + 4| = 0, AA1 =2I,\A\<0,求方阵 A的伴随矩阵4*的一个特征值、
解：因|3Z + A| = 0,故| —3I — 4| = 0 ,可知A的一个特征值为 人=—3、由 AAt =21,^
|部=|0|.|4丁 | = 16、
* 1 4
因|A|<0,所以|A| = —4、于就是4的一个特征值为|A|r* =-,
i)
1的逆矩阵4一|的特征向
1 2J
量、试求常数左、
解：存在的特征值4,使得A-1a = Aa ,故有AAa = a ,即得
'3 + ky ( r
A 2 + 2k = k、
\3+*J lb
解此方程，求得R = 1或k = -2,
'0 0 1)
= x 1 y有三个线性无关的特征向量，求x与y应满足的条
b。oJ
件、
解：方阵A的特征多项式为
0-1
\AI-A\= -x 2-1 —> =(人一1)2(人 + 1),
-10 2
方阵A的特征值为4=>^=1,人=—1、
因A有三个线性无关的特征向量，所以4 = 1的几何重数等于代数重数, 也即 3 —R4Z —4) = 2、因此—4)=1、而
< 1
0
-1、
<1
0
-1 1
\I-A =
~x
0
-y
0
0
-y-x
0
<0
0
o >
当且仅当x + y = 0时，—4) = 1, A有三个线性无关的特征向量、
<2 0 1、
=
3
[X
可相似对角化，求X、
<4 0 5；
解：方阵A的特征多项式为
2-2
0 -1
I/LZ-
4| =
-3
A — 1 —x
—(4 -1)2(4 -6),
-4
0 2-5
方阵A的特征值为4 =々=1, 4=6、
因A可相似对角化，所以2, =1的几何重数等于代数重数，即
——4) = 2, —4) = 1、
<-1 0 -1、
0 -1 、
\1 — A =
—3 0 —X
—
0 0 3 — x
(—4 0 —4)
<0 0 0 J
当且仅当X = 3时，R^I-A) = 1, A可相似对角化、
&=1人=2,人=3,对应的特征向量依 次为
Pl =
'1] P2 = 0 , P3 = 10
求4"、
解：记 P = (pt,p2,p3),则有 P 'AP = A;= diag(l, 2,3) 因此
A = PAP ', An = PA P 求x与y ；
求一个满足P AP = B的可逆矩阵P、
解：(1)因矩阵A与对角矩阵B相似，故知矩阵0的特征值为2,弘-1、 由特征值的性质，我们有
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