文档介绍：塑性力学简单的弹塑性问题
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第六章简单的弹塑性问题
§ 弹塑性边值问题的提法
§ 薄壁筒的拉扭联合变形
§ 柱体的弹塑性自由扭转
§ 受内压的厚壁圆筒
§ 旋转果可知：
路径③是比例加载路径ODC，其上
。在到达D点时，
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实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但可以发生轴向自由翘曲。
§ 柱体的弹塑性自由扭转
考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩T作用下的自由扭转问题。
以表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为
从小应变下的Cauchy公式得出应变为：
一、研究范围和基本方程
(6-84)
其中是截面的翘曲函数
假定截面是单连通的，取柱体的轴线为 z 轴。
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此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。
在进入塑性之后，恒有
按照增量本构关系，从刚进入塑性开始，
可以推知
进而在变形的一切阶段均有
(6-85)
(6-86)
在弹性时按Hooke定律求得：
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即在塑性阶段不为零的应力分量仍只有
其中
为合剪应力。
可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切，这是一个简单加载过程。
且主应力为：
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二、弹性扭转和薄膜比拟
或由（6-86）式得到的应力分量表示的协调方程
同时，只有一个平衡方程
从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程
因此，可以引进弹性应力函数
，使有
则平衡方程自动满足，而协调方程（6-90）化为
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在弹性力学中，研究了
和Poisson方程（6-93）并导致以下结论
) 合剪应力大小：
iii）柱体截面的周界也是
=const曲线族之一，对单连通截面可令周界上
iv）扭矩T与
条件求得：
ii）合剪应力的方向沿
=const曲线的切向，也就是与
的梯度方向相垂直。
其中A为柱体的一个截面。
v）Prandtl 薄膜比拟：将薄膜张于与柱体截面边界形状相同的边框上，加　均匀压力，则
与薄膜的高度成正比，
的大小与薄膜的斜率成正比，
扭矩T 与薄膜曲面下的体积成正比。
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达到
，就算达到了弹性极限状态，相应的
截面上有一点的
扭矩为弹性极限扭矩。以半径为 a 的圆柱体为例，
带入方程（6-93）得
于是
在截面边缘上最大
令处导出
在塑性阶段，平衡方程（6-91）不变，并仍可由引入应力函数来满足，此时
三、全塑性扭转和沙堆比拟
当材料进入塑性时，
因此，按弹性考虑，只要
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这样，只从平衡方程、屈服条件和应力边条件就能够求出理想塑性体内的应力分布。这种情况叫做塑性力学中的静定问题。
则
或即
对于理想塑性材料，是常数，（6-99）式说明在截面上保持斜率不变。
由此，Nadai提出下述沙堆比拟：
将一个水平的底面做成截面的形状，在其上堆放干沙，由于沙堆的静止摩擦角为常数，则沙将形成一个斜率为常数的表面。因此，这表面可用来代表塑性应力函数，只相差一个可由屈服应力和沙堆摩擦角决定的比例因子。
就是截面的塑性极限扭矩。
这时，我们不用（也不再有）应力协调方程，而代之以屈服条件
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仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时，
，按（6-100）式求出
高度就应为
表面必然是一个
圆锥，既然斜率是
与（6-96）式相比可知对圆柱体
沙堆比拟的思想，不仅可直接应用于实验，也可用来指导计算三角形、矩形、任意正多角形等规则截面的柱体的塑性极限扭矩，因为这只需计算某些等斜“屋顶”下的体积。
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剪应力方向平行于边界，大小为。同时我们也看到，一般来说，在截面内部，沙堆会出现尖顶和棱线，在这些点和线的两侧剪应力不连续。
从沙堆比拟中看出，沙堆的梯度垂直于边界，等
线平行于边界，每点的合
它们是弹性区域收缩时的极限。当弹性区域收缩时，从不同方向扩展过来的两个塑性区域相遇，因此会造成剪应力间断。
如果截面边界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的顶点），从弹性力学知道，在凸角处剪应力等于零，因而尽管T增大，这里始终处于弹性阶段。所以，作为弹性区域收缩极限的剪应力间断线必定通过