文档介绍:集合知识点归纳
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集合的基础知识
一、重点知识归纳及讲解
1.集合的有关概念
一组对象的全体形成一个集合,集合里的各个对象叫做集合的元素
⑴集合中的元素具有以下的特性
①确定性:任给一元素可确集合M、P的关系只能用“属于”,“不属于”来确定,比较实数的大小,易判断C正确.
小结:正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键.
2.理解集合所表示的意义
(1)对由条件给出的集合,要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.如{yR|y=}表示的为函数y=中y的取值范围,故{yR|y=}={yR|y};而{xR|y=}表示y=的x的取值范围,故{xR|y=}=R.
(2)用集合表示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用韦恩图表示,容易被忽视,如在关系式BA中,易漏掉B=Φ的情况.
例4、 设A=,B=
(1)若AB=B,求的值;
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(2)若AB=B,求的值.
分析:
明确AB=B和A B=B的含义,根据问题的需要,将AB=B和AB=B转化为等价的关系式:和,是解决本题的关键.
解析:首先化简集合A,得A={-4,0}
(1)由于A B=B,则有可知集合B或为空集Φ,或只含有根0或-4.
①若B=Φ,由得
②若,代入得:,
当时,B=,合题意.
当时,B=,也符合题意.
③若,代入得:,
当时,②中已讨论,合题意
当时,B=不合题意.
由①、②、③得,.
(2)因为AB=B,所以,又A={-4,0},而B至多只有两个根,因此应有A=B.
由(1)知,
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【点评】:
一般对于AB=B和AB=B这种类型的问题,都要注意转化为等价的关系式:和 ,且在包含关系中,注意不要漏掉B=的情况.
并且当A、B中的元素的个数相同时,还存在或的情况时,只有A=B这一种情况.
子集
(1)子集定义:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。
记作:    读作:A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作:A B或B A.
性质:① (任何一个集合是它本身的子集)
② (空集是任何集合的子集)
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?
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【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.
因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全体元素组成的.空集也是B的子集,而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到,把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.
(2)集合相等:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
例: ,可见,集合 ,是指A、B的所有元素完全相同.
(3)真子集:对于两个集合A与B,如果 ,并且 ,我们就说集合A是集合B的真子集,记作: (或 ),读作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否这样定义真子集:“如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.”
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集合B同它的真子集A之间的关系,可用文氏图表示,其中两个圆的内部分别表示集合A,B.
【提问】
(1) 写出数集N,Z,Q,R的包含关系,并用文氏图表示。
(2) 判断下列写法是否正确
① A  ② A  ③   ④A A
性质:
(1)空集是任何非空集合的真子集。若 A ,且A≠ ,则 A;
(2)如果 , ,则 .
例1  写出集合 的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解:集合 的所有的子集是 , , , ,其中 , , 是 的真子集.
【注意】(1)子集与真子集符号的方向。
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       (2)易混符号
①“ ”与“ ”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如 R,{1} {1,2,3}
②{0}与 :{0}是含有一个元素0的集合, 是不含任何元素的集合。
                如: {0}。不能写成 ={0}, ∈{0}
例3  判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正.
(1) 表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;