文档介绍：集合知识点归纳
2
集合的基础知识
一、重点知识归纳及讲解
1．集合的有关概念
　　一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素
　　⑴集合中的元素具有以下的特性
　　①确定性：任给一元素可确集合M、P的关系只能用“属于”，“不属于”来确定，比较实数的大小，易判断C正确.
小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键．
2．理解集合所表示的意义
　　（1）对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．如{yR|y=}表示的为函数y=中y的取值范围，故{yR|y=}={yR|y};而{xR|y=}表示y=的x的取值范围，故{xR|y=}=R．
　　（2）用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式BA中，易漏掉B=Φ的情况．
例4、设A=，B=
　　（1）若AB=B，求的值；
10
　　（2）若AB=B，求的值．
分析：
　　明确AB=B和A B=B的含义，根据问题的需要，将AB=B和AB=B转化为等价的关系式：和，是解决本题的关键．
解析：首先化简集合A，得A={-4，0}
（1）由于A B=B，则有可知集合B或为空集Φ，或只含有根0或-4．
①若B=Φ，由得
②若，代入得：，
　当时，B=，合题意．
　当时，B=，也符合题意．
③若，代入得：，
　当时，②中已讨论，合题意
　当时，B=不合题意．
　由①、②、③得，．
（2）因为AB=B，所以，又A={-4，0}，而B至多只有两个根，因此应有A=B．
由（1）知，
11
【点评】：
　　一般对于AB=B和AB=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：和，且在包含关系中，注意不要漏掉B=的情况．
并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在或的情况时，只有A=B这一种情况．
子集
　（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。
　　记作：    读作：A包含于B或B包含A
　　
　　当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：A B或B A．
　　性质：① （任何一个集合是它本身的子集）
　　　　　② （空集是任何集合的子集）
【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？
12
【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．
　　因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．
（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
　　例：，可见，集合，是指A、B的所有元素完全相同．
（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：（或），读作A真包含于B或B真包含A。
【思考】能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
13
　　集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A，B．
【提问】
　　（1）写出数集N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示。
　　（2）判断下列写法是否正确
　　 ① A  ② A  ③   ④A A
性质：
　　（1）空集是任何非空集合的真子集。若 A ，且A≠ ，则 A；
　　（2）如果，，则．
　　例1  写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
　　解：集合的所有的子集是，，，，其中，，是的真子集．
【注意】（1）子集与真子集符号的方向。
　　
14
       （2）易混符号
　　①“ ”与“ ”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如 R，{1} {1，2，3}
　　②{0}与：{0}是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合。
                如： {0}。不能写成 ={0}， ∈{0}
　　例3  判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正．
　　　　（1）表示空集；
　　　　（2）空集是任何集合的真子集；