文档介绍：第三章平面问题的直角坐标解答
要点
——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
§3-1 逆解法与半逆解法多项式解答
§3-2 位移分量的求出
§3-3 简支梁受均布载荷
§3-4 楔形体受重力和液体压力
§3-5 级数式解答
§3-6 简支梁受任意横向载荷
主要内容
当体力为常量时,按应力求解平面问题,最后归结为:
(1)
(2-27)
(2)
然后将代入式(2-26)求出应力分量:
先由方程(2-27)求出应力函数:
(2-26)
(3)
再让满足应力边界条件和位移单值条件(多连体问题)。
(2-28)
(无体力情形)
§3-1 逆解法与半逆解法多项式解答
1. 应力函数求解方法
(1)
逆解法
(1)
根据问题的条件
(几何形状、受力特点、边界条件等),
假设各种满足相容方程(2-27)的φ(x,y) 的形式;
(2)
——主要适用于简单边界条件的问题。
然后利用应力分量计算式(2-26),求出(具有待定系数);
(3)
再利用应力边界条件式(2-18),来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题,从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。
(2)
半逆解法
(1)
根据问题的条件
(几何形状、受力特点、边界条件等),
假设部分应力分量的某种函数形式;
(2)
根据与应力函数φ(x,y)的关系及,求出φ(x,y) 的形式;
(3)
最后利用式(2-26)计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。
——半逆解法的数学基础:数理方程中分离变量法。
适用性:
由一些直线边界构成的弹性体。
目的:
考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ,能解决什么样的力学问题。
——逆解法
其中: a、b、c 为待定系数。
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程:
显然φ(x,y) 满足双调和方程,因而可作为应力函数。
(1)
1. 一次多项式
(2)
(3)
对应的应力分量:
若体力: 则有:
结论1:
(1)
(2)
一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态;
在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。
2. 二次多项式
(1)
其中: a、b、c 为待定系数。
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,显然有
(2)
(可作为应力函数)
(3)
由式(2-26)计算应力分量:
x
y
2c
2c
2a
2a
结论2:
二次多项式对应于均匀应力分布。
x
y
(假定: a >0 , b >0, c >0)
x
y
试求图示板的应力函数。
例:
x
y
3. 三次多项式
(1)
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程,显然有
(2)
(可作为应力函数)
(3)
由式(2-26)计算应力分量:
结论3:
三次多项式对应于线性应力分布。
(假定: )
讨论:
可算得:
x
y
1
l
l
图示梁对应的边界条件:
M
M
可见:
——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
常数 d 与弯矩 M 的关系:
(1)
由梁端部的边界条件:
(2)
可见:此结果与材力中结果相同,
说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
x
y
1
l
l
M
M
说明:
(1)
组成梁端力偶 M 的面力须线性分布,且中心处为零,结果才是精确的。
(2)
若按其它形式分布,如:
则此结果不精确,有误差;
但按圣维南原理,仅在两端误差较大,离端部较远处误差较小。
(3)
当 l 远大于 h 时,误差较小;反之误差较大。
4. 四次多项式
(1)
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
(2)
代入:
得
可见,对于函数:
其待定系数,须满足下述关系才能作为应力函数:
(3)
应力分量:
——应力分量为 x、y 的二次函数。
(4)
特例:
(须满足:a + e =0)