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考研数学二模拟题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
2
2x
(1)当x0时，设arctanx,1x1(a0),oar连续？
(II)a、b为何值时g(x)在x0处可导?
1上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两
(21)(本题满分11分)过椭圆3x22xy3y2
坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(22)(本题满分11分)设A是实矩阵。证明:
(I
)AT Ax 0与Ax 0是同解方程组；(II)
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秩(ATA)=秩口)
(23)(本题满分 11分)设A为三阶方阵,
1, 2, 3为三维线性无关列向量组，且有
(I)
求A的全部特征值。
(II ) A是否可以对角化?
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考研数学二模拟题参考答案
、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1)C
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解：由lim—
x2
arcsintdt
lim-2—lim
x0arctanxx0
x2
arcsintdt
0
2xarctanx2-
0
2x
所以
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由 lim 一
x 0
lim
x 0
,2
arctanx
(1x)a1

2
..x
lim——0
x0ax
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。故C成立。
⑵B
解：由于函数可导(除x
0)且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与
且仅有两个交点，故A,C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故
(3)B
x轴有
D不正确。
解：设g(x)f[(x)],贝Ug(x)f[(x)]
f[(x)]g(x)
(4)A
加ln(1x)(axbx2)1/(1x)(a2bx)八
解：lim-Tlim————2,因limx0,则
x0xx02xx0
lim1/(1x)(a2bx)0,故a1。而
lxm0
ln(1
x)(xbx2)
2
x
limln1
x0
x)
2
x
1〜
一,所以b
2
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【也可以用泰勒公式计算】
，即 M2 M1 ,
(5)C
设f(x)在(a,b)内有界，即f(x)M1；x0(a,b),limg(x)xx
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使当0xXo
时，g(x)M2。则
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g(x)f(x)g(x)f(x)M
2M1
M,即对M0,
当0xX0
时，
g(x)f(x)M,故ximm[f(x)g(x)]
(6)D
由yi,y2,y都是已知方程的线性无关的解知
yC1(y1y3)C2(y2
y3)是二阶线性齐次方
程yp(x)yq(x)y0的通解;
根据二阶线性方程通解的结构定理知,
该方程的通解为
yC1(yiy3)C2(y2y3)y3
Ciyi
C2y3(1CiC2)y3
解:
Ax
0有非零解，充要条件是
r(A)
n,由此即可找到答案。
(8)
解:
AT0
0B1
二、填空题：9〜14小题,
(9)应填
3
2
解:
3x2
f?
3x2
2AT
0
2B1
2AT||2B1
=(2)2nAB
每小题
f(x)
4分，共
24分。把答案填在题中的横线上。
arcsinx2得
dydx
3x22arcsin()
3x2
3x2
3x2)
.3x2、2arcsin()
3x2(3x
12
第
dy
dx
123
一arcsin1一
42
(10)应填
f(x)2(x1)2ex
解：令x
tu,原方程变为x
xx
0f(u)du0uf(u)du
x
0f(t)dt
x
方程两边对x求导得0f(u)du
x2f(x)
再两边对x求导得f(x)2xf(x),即出y2xdx
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2(x 1) C
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dxdx
ye[(2x)edxC]
由