文档介绍：-
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第7章求解非线性方程
多项式运算在MATLAB中的实现
一、多项式的表达
n次多项式表达为：，是n+1项之和
在MATLAB中，n次多项式可以用n次多面的多项式方程，也称代数方程：
Pn〔*〕= an*n + an-1*n ＋ … ＋ al* + a0 = 0 ( 2 )
Pn〔*〕的最高次数n等于2、3时，用代数方法可以求出方程〔2〕的解析解，但是，当n ≥ 5时，伽罗瓦〔Galois〕定理已经证明它是没有代数求根方法的。至于超越方程，通常很难求出其解析解。所以，方程〔l〕的求解经常使用作图法或数值法，而计算机的开展和普及又为这些方法提供了广阔的开展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。
本章首先介绍求解 f ( * ) = 0 的 MATLAB 符号法指令，然后介绍求方程数值解的根本原理，最后再介绍求解 f ( * ) = 0 的 MATLAB 数值法指令。
一、符号方程求解
在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：
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solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。
当方程右端为0时，方程可以不标出等号和0，仅标出方程的左端。
solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。
solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。
例1．解以下方程。
1．
*= solve('1/(*+2)+4**/(*^2-4)=1+2/(*-2)', '*')
2．
f=sym('*-(*^3-4**-7)^(1/3)=1')
*= solve(f)
3．
*= solve('2*sin(3**-pi/4)=1')
4．
*= solve('*+**e*p(*)-10', '*')%仅标出方程的左端
二、求方程f ( * ) = 0数值解的根本方法
并非所有的方程 f ( * ) = 0 都能求出准确解或解析解，不存在这种解的方程就需要用数值解法求出近似解，有几种常见的数值解法根本原理：二分法。
1 根的二分法原理
设方程 f (*) =0中的函数 f ( *〕为实函数，且满足：
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① 函数 f (*〕在[ a , b]上单调、连续；
② 方程 f (*) = 0 在〔a , b〕只有一个实根 **。
则求方程 f (*) = 0 的根，就是在〔a, b〕找出使f (*〕为零的点**：f (**) = 0 ，即求函数 f ( * )的零点。因为 f (*〕单调连续，由连续函数的性质可知，假设任意两点aj，bjÎ[ a , b] ，而且满足条件 f (aj) f (bj) < 0 ，则闭区间[aj , bj] 上必然存在方程的根**，即 **Î[aj , bj]。
据此原理提出根的二分法如以下图所示，
图1 方程求根二分法原理示意图
先用中点将区间[a, b]平分为两个子区间 (a,b1〕和〔b1, b)，方程的根必然在子区间两端点上函数值之积小于零的那一半中，即不在(a ,b1〕，就在〔b1 ,b )，除非 f(b1) = 0 ，于是寻根的围缩小了一半。图1中的根**在区间中点左侧，即 **Î(a , bl〕。再将新的含根区间( a , b1〕分成两半，重复上述步骤确定出更新的含根子区间。如此重复n次，设含根区间缩小为〔an, bn〕，则方程的根**Î〔an, bn〕, 这一系列含根的子区间满足：
( a , b ) D É ( al , bl ) É ( a2 , b2 ) É…É ( a0， b0〕É…
由于含根区间围每次减半，子区间的宽度为 (n = 1,2,….)，显然当n→¥时，(bn一an〕→0，即子区间收敛于一点**，这个点就是方程的根。假设n为有限整数，取最后一个子区间的中点作为方程根的近似值，它满足 f ( *n〕≈0 ，于是有：
这就是近似值*n的绝对误差限。假定预先要求的误差为e，由便可以求出满足误差要求的最小等分次数n。
下面是二分法的程序
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function [c,err,yc] =bisect (f,a,b,delta)
%Input - f is the function input as a string ‘f’
% - a and b ar