文档介绍：信号系统_傅里叶变换
适用于年终总结/工作计划/述职报告/策划方案等
2020
引言
本章将以正弦信号和复指数信号 为基本函数，任意信号将分解为一系列不同频率的正弦信号或复指数信号之和或积分。
—— 由时波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，则称奇谐函数。
3、奇谐函数
4、偶谐函数
则f(t)的傅氏级数奇次谐波为零
)
(
t
f
L
L
O
t
1
T
1
T
-
2
1
T
-
2
1
T
• 一般函数可分解为奇函数和偶函数之和，则其分别展开成傅里叶级数再相加，有时可使运算过程简化；
• 在允许的情况下，可以移动函数的坐标使波形具有某种对称性，以简化运算。
<例3>
利用信号f(t)的对称性，定性判断图中各周期信号的傅里叶级数中所含的频率分量。
(a)
(b)
(c)
解：
(a)
(b)
(c)
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和，即，时域和频域的能量是守恒的。
四、周期信号的功率
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。
误差函数
方均误差
五、傅里叶有限级数与最小方均误差
• 傅里叶级数所取项数愈多，相加后波形愈逼近原信号f(t)，两者的方均误差愈小；
• f(t)波形变化愈剧烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富；
• 当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。
说明：
典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲信号
1、傅里叶级数
)
(
t
f
2
t
-
t
1
T
1
T
-
E
2
t
O
（1）三角函数形式的傅里叶级数
（2）指数形式的傅里叶级数
2、频谱图
说明：
零点间谱线数目增加，收敛性变缓。
—— 带宽与脉宽成反比。
• 系统的通频带>信号的带宽，信号才能不失真。
• 对于一般周期信号，将幅度下降至 的频率区间定义为频带宽度。
3、对称方波信号
偶函数
奇谐函数
二、周期锯齿脉冲信号
三、周期三角脉冲信号
四、周期半波余弦信号
五、周期全波余弦信号
傅里叶变换
一、频谱密度函数
1、引出
再用F(n1)表示频谱已不合适，引入“频谱密度函数”。
F()称为频谱密度函数，简称频谱函数。
2、傅里叶变换
若f(t)是实函数，则
3、傅里叶逆变换
二、傅里叶变换的物理意义
若f(t)是实函数，则此项=0
三、傅里叶变换存在的条件
• 可见，所有的能量信号均满足此条件。
• 当引入(t)函数的概念后，可将傅里叶变换的函数类型大大扩展了。
典型非周期信号的傅里叶变换
一、单边指数信号
O
w
(
)
w
F
a
1
w
O
(
)
w
j
2
-
2
二、双边指数信号
三、矩形脉冲信号
E
O
(
)
t
f
t
2
t
2
t
-
w
(
)
w
F
t
E
t
2
O
t
4
t
2
-
四、钟形脉冲信号（高斯脉冲）
O
t
f(t)
E
波形与频谱具有相同的形状，均为钟形。
五、直流信号
因为f(t)不满足绝对可积条件，所以不能直接用定义求。
求解方法：
六、符号信号
因为f(t)不满足绝对可积条件，所以不能直接用定义求。
求解方法：
w
2
w
)
(
w
F
O
O
w
2
2
-
(
)
w
j
七、升余弦脉冲信号
O
t
E
(
)
t
f
t
-
t
2
E
2
t
-
2
t
O
(
)
w
F
t
E
t
2
t
E
t
2
t
3
t
4
w
其频谱比矩形脉冲的频谱更集中。
冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
一、冲激函数的傅里叶变换
1、冲激函数的傅里叶变换
2、冲激函数的傅里叶逆变换
二、冲激偶的傅里叶变换
推论：
三、阶跃函数的傅里叶变换
u(t)不满足绝对可积条件，不能直接用定义求。
求解方法：
傅里叶变换的基本性质
一、对称性
推论：
二、线性
三、奇偶虚实性
1、f(t)是实函数
2、f(t)是虚函数
四、尺度变换特性
五、时移特性
推论：
<例1>