文档介绍：期权定价的二叉树模型2073
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6 期权定价的二叉树模型
假设条件:
(1)最基本的模型为不支付股利的欧式股票看涨期权定价模型
(2)股票市场与期权市场是完全竞争的,市场运行是非常具有效率的
(3)股票现货与期权合约的买卖,不涉及交易成本,而且也不存在税收问题
(4)市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入资金或贷出资金,利率在期权有效期内保持不变,而且不存在信用风险或违约风险
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61>.1 单期模型
设目前为0期,期权合约的基础资产(如股票)价格的现行市场价格为S,在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果:或者股票价格上升至Su,或者股票价格下降至Sd,而上升或下降的概率呈二次分布状。在这里下标号u和d表示变量数值上升或下降为原数值的倍数,即u>1,d<1。与此相对,股票看涨期权的初始价值为c,在下一期(欧式期权的到期日)伴随着股票价格的上涨或下跌,该期权合约的价格也有两种可能,即要么上升至cu,要么下降至cd,作图。二叉树、节点、路径
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单期模型
S C
由于这个图形犹如一根叉开的树枝,所以被称为“二叉树”,模型中,每一个数值被称作是一个节点,每一条通往各节点的线称作路径。
Su
Sd
Cu
Cd
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第一节单期模型
[例8-1] 设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为$110。在U==,期权价值?
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分析:
当前下一期
股票价格(su)=$130
u= 期权价值(cu)=
股票价格(s)=$100 max(su-k,0)=$20
期权价值(c)=? d=
股票价格(sd)=$90
期权价值(cd)=
max(sd-k,0)=0
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资产组合
目前的成本
或价值(V0)
到期日(假定是3个月后)的价值(VT)
ST =$100(u=) ST= $90(d=)
买进δ股股票
卖出1份看涨期权
-$100× δ
+C(未知数)
+$130× δ
-$20
+$90× δ
0
合计
C -$100× δ
$130× δ-$20
$90× δ
资产组合的目前成本与未来价值
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$130× δ-$20=$90× δ(风险中性假定)
Δ=
股票上涨:VT= $130× -$20=$45
股票下跌:VT=$=$45
根据有效市场的假设,在不冒风险的情况下,人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之,资产组合在当前的价值,是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为10%,而且按连续复利进行贴现,那么:
V0=$45xe-10%=$
=-c
C=50-=$
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按上分析:
股票上涨 VT=Sux δ-Cu
股票下跌VT=Sdx δ-Cd
Sux δ-Cu=Sdx δ-Cd
单期二项式期权定价模型的通用公式
Δ被称为套期保值比率,它代表无风险资产组合所要求的股票持有量。设无风险利率为r,且d<r<u(一定成立,否则市场失衡,就会产生套利)
保值型资产组合的现值为:
(Sux δ-Cu)e-rt,或者
(Sdx δ-Cd)e-rt;而目前资产成本:
Sx δ-C;市场均衡时,二者相等
(Sdx δ-Cd)e-rt= Sx δ-C;
C= Sx δ- (Sdx δ-Cd)e-rt;
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资产组合
目前的成本
或价值(V0)
到期日(假定是3个月后)的价值(VT)
ST =$100(u=) ST= $90(d=)
卖出1份看涨期权
按无风险利率借入资金
-$50
+$
+$
+$65
-$20
-$45
+$45
0
-$45
资产组合的价值
0
0
0
均衡价格下保值型资产组合只能赚得无风险利率
期权定价与无风险套利
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资产组合
目前的成本
或价值(V0)
到期日(假定是3个月后)的价值(VT)
ST =$100(u=) ST= $90(d=)
买进1份看涨期权
按无风险利率借入资金
+$50
-$
-$45
-$65
+$20
+$
-$45
0
+$
资产组合的价值
0
$
$
假定价格为$,在期权价格被低估的情况下
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资产组合
目前的成本
或价值(V0)
到