文档介绍：Chapter 1 ?1. 矩阵及运算;?;?3. 矩阵A可逆?存在n阶矩阵B,使得AB=BA=E;??A非奇异(或非退化),即|A|?0;??A的等价标准形为E;??A可表示为有限个初等矩阵的乘积;??R(A)=n;??齐次线性方程组AX=0仅有零解;??A的行(列)向量组线性无关;??A的特征值均不为零。?4. 可逆矩阵的性质 P361?5. 特殊分块矩阵的逆矩阵设A为m阶可逆矩阵, B为n阶可逆矩阵, C为任意m?n(或n?m)阶矩阵, 则2? ?? ?? ?? ?? ?? ?-1-1-1A 0A 0= ;0 B0 B? ?? ?? ?? ?? ?? ?-1-1-10 A0 B= ;B 0A 01?? ?? ?? ?? ?? ?? ?-1-1 -1-1A CA -A CB= ;0 B0 B? ?? ?? ?? ?? ?? ?-1-1-1 -1 -1A 0A 0= ;C B-B CA B6. 矩阵的初等变换与矩阵的秩Chapter 2 ?1. 向量的线性组合;?2. 线性相关与线性无关;?;?4. 齐次线性方程组AX=0的基础解系;?非齐次线性方程组AX=b的通解; ?5. Rn中的标准正交基及正交矩阵。3Chapter 4 ?1. 特征值与特征向量;?2. 相似矩阵及性质;?3. 实对称矩阵的特征值及特征向量;?4. 矩阵可对角化的条件。4?, 并说明理由?(1)若n阶矩阵A,B满足|A|=|B|,则A=B ;?(2)若n阶矩阵A,B满足AB?BA, 则|AB|?|BA| ;?(3)若n阶矩阵A,B满足|A+AB|=0?A = -AB;?(4)若n(>1)阶矩阵A满足|A|=k, 则|A+A|=2k ;?(5)若n阶矩阵A,B满足AB=E, 则|A|=|B| ;?(6)若n阶矩阵A,B的元素均为整数, 且AB=E, 则|A|=|B|;5???????(7)二阶行列式等于零?行列式的两行成比例;?(8)若n阶矩阵A,B的为对角阵, 则|A+B|=|A|+|B|;?(9)若A为奇数阶矩阵, 则|A - AT|=0;?(10)设A,B均为n阶矩阵, 则AB不可逆的充分必要条件是A,B中至少有一个不可逆;?(11)若n阶矩阵A,B满足AB=E,则AB=BA;?(12)若A*为n(>1)阶矩阵A的伴随矩阵,则|(2A)*|=2n-1|A*|.6???????解: (12) 令B=2A,则Bij=2n-1Aij , i, j=1, 2,…,n.?因此?B*=2n-1A*?从而?|B*|=|(2A)*|=2n(n-1)|A*|? =2n(n-1)|A|n-?(13)若A,B均为n阶可逆矩阵, 则A+B可逆;?(14)若A,B均为n阶矩阵,且A+B可逆, 则A与B均可逆;?(15)若A,B,A+B均为n阶可逆矩阵,则A-1+B-1为可逆矩阵;8???解(15) A-1+B-1= A-1+A-1AB-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(A+B)B-1因此矩阵A-1+B-1可逆。?(16)若n阶矩阵A的元素均为整数, 则存在元素为整数的n阶矩阵B, 使得AB=E的充分必要条件是|A|=±1;?(17)若n阶非零矩阵A满足AB=0, 则B=0;?(18)若A是n阶矩阵, 且|A|=1,则(A*)*=A;9??(18)解:由|A|=1有A*A=|A|E=E,由(A*)*(A*)=|A*|E=E 有则|A*|=|A|n-1=1, (A*)*=(A*)-1又由A*A=E有,(A*)-1=A,因此(A*)*=(A*)-1=A.??(18)若A是n阶可逆矩阵, 则(A*)*=|A|n-2A;10解: 由A*A=|A|E有由(A*)*(A*)=|A*|E=|A|n-1E 有|A*|=|A|n-1?0, (A*)*=|A|n-1(A*)-1又由A*A=|A|E有 A*=|A|A-1因此(A*)*=|A|n-1(|A|A-1)