文档介绍：线性代数复****br/>2021/1/4
2
定义
向量的长度具有下列性质：
２ 向量的长度
2021/1/4
3
2021/1/4
4
定义
３ 向量的夹角
2021/1/4
5
线性代数复****br/>2021/1/4
2
定义
向量的长度具有下列性质：
２ 向量的长度
2021/1/4
3
2021/1/4
4
定义
３ 向量的夹角
2021/1/4
5
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零
向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正
交基．
定理
定义
４ 正交向量组的性质
2021/1/4
6
施密特正交化方法
2021/1/4
7
第一步 正交化
2021/1/4
8
第二步 单位化
2021/1/4
9
定义
５ 正交矩阵与正交变换
方阵 为正交矩阵的充分必要条件是 的行
（列）向量都是单位向量，且两两正交．
2021/1/4
10
定义 若 为正交矩阵，则线性变换 称为
正交变换．
正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
2021/1/4
11
定义
６ 方阵的特征值和特征向量
2021/1/4
12
2021/1/4
13
７ 有关特征值的一些结论
2021/1/4
14
定理
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
８ 有关特征向量的一些结论
2021/1/4
15
定义
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性；
(3)传递性．
９ 相似矩阵
2021/1/4
16
１０ 有关相似矩阵的性质
若 与 相似，则 与 的特征多项式
相同，从而 与 的特征值亦相同．
2021/1/4
17
(4) 能对角化的充分必要条件是 有 个线
性无关的特征向量．
(5) 有 个互异的特征值，则 与对角阵相似．
2021/1/4
18
１１ 实对称矩阵的相似矩阵
2021/1/4
19
定义
１２ 二次型
2021/1/4
20
二次型与它的矩阵是一一对应的．
2021/1/4
21
定义
１３ 二次型的标准形
2021/1/4
22
１４ 化二次型为标准形
2021/1/4
23
2021/1/4
24
定义
１５ 正定二次型
2021/1/4
25
１６ 惯性定理
2021/1/4
26
注意
2021/1/4
27
１７ 正定二次型的判定
2021/1/4
28
2021/1/4
29
一、证明所给矩阵为正交矩阵
典 型 例 题
二、将线性无关向量组化为正
交单位向量组
三、特征值与特征向量的求法
四、已知 的特征值，求与
相关矩阵的特征值
2021/1/4
30
五、求方阵 的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
七、判断方阵 可否对角化
八、利用正交变换将实对称
矩阵化为对角阵
九、化二次型为标准形
2021/1/4
31
一、证明所给矩阵为正交矩阵
2021/1/4
32
证明
2021/1/4
33
2021/1/4
34
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可
以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与
单位化．
二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组
2021/1/4
35
解一 先正交化，再单位化
2021/1/4
36
2021/1/4
37
2021/1/4
38
解二 同时进行正交化与单位化
2021/1/4
39
2021/1/4
40
2021/1/4
41
第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组，
求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
三、特征值与特征向量的求法
第一步 计算 的特征多项式；
第二步 求出特征多项式的全部根，即得 的全部
特征值；
2021/1/4
42
解 第一步 计算 的特征多项式
2021/1/4
43
第三步 求出 的全部特征向量
2021/1/4
44
2021/1/4
45
2021/1/4
46
2021/1/4
47
解
四、已知A的特征值，求与A相关 矩阵的特征值
2021/1/4
48
2021/1/4
49
2021/1/4
50
解
五、求方阵 的特征多项式
2021