文档介绍：毕业论文
沃利斯公式的证明及其应用
学生姓名
学院数学科学学院
专业数学与应用数学
班级 10（2）班
学号 10211255
指导教师韩诚
2014沃利斯公式
引理1 设，则有
.
定理1 设，，证明.
证明令，根据引理1得
.
由于
，，
因此当时，即
.
当时，
.
则
另一方面，由定积分的保不等式性质知，当时，有
,
从而得到
，
从上式可得到
.
在上式中，令，则
.
由于，因此根据迫敛性可知，因而
.
Wallis公式（1-1）得证.

对任意非负实数和正整数，则有
（1-4）
其中.
证明由分部积分法知，当时，则有
.
因此有.
于是
，
，
从而
，
即
，
令，利用夹逼定理并整理得到（1-4）式.
注1令，可以得到著名的Wallis公式
沃利斯公式的不等式
关于Wallis公式的研究一直以来都受数学家的关注，1956年给出了如下含Wallis公式形式的不等式
本文将含Wallis公式不等式推广为
当时，有下列式子成立
,（1-5）
或
.（1-6）
证明如果，式（1-5）显然成立.
如果，用数学归纳法证明，式（1-5）左边
当时，显然成立.
假设对式子（1-5）的左边对于正整数n成立，则下面证明对于同样成立，由归纳假设，只要证明
,
即证明 ,
亦即.（1-7）
根据伯努利不等式
.
令，则
.
所以式（1-7），对任意正整数，式子（1-5）的左边成立.
下面证明式（1-5）的右边成立.
当时，要证明(1-5)的右边成立，只要证明
,
即可，化简可知这个不等式成立的充要条件为，又由于时，有.
因此，此时式（1-5）的右边成立 .
假设式（1-5）的右边对于正整数，下面证明同样成立，只要证明
,
而此不等式成立的充要条件为
,
即
（1-8）
但是，由Newton二项式公式，式子（1-8）的右边不小于下面的式子：
.
所以式子（1-8）成立.
因此，对任意正整数,式子（1-5）的右边成立.
2 沃利斯公式的应用
沃利斯公式在极限计算中的应用
由于沃利斯公式和极限有关，所以在计算一些极限的问题可以通过沃利斯公式会很容易出来.
例1求极限.
解利用沃利斯公式（），可得
.
例2设（），试证
，.
解由于
，
，
因此，公式，则
， .
得证.
例3 求极限.
解由沃利斯（Wallis）公式的推广（1-4），则有
.
令则
.
例4求极限.
解因为
，.
因此
（2-1）
由于当时，级数在处收敛（本文下面给予证明），又由于函数项级数M-检验法知，级数(1)在上一致收敛.
在（2-1）中，令，有
，（2-2）
对（2-2）所在区间取积分，并且由逐项积分公式，则有
，
，
又由沃利斯公式可知，，
于是
即
.
沃利斯公式在积分计算中的应用
对于一些不易用积分法求出原函数的积分，但是利用沃利斯公式却可能很容易解决这些问题.
例5求积分.
解假设，由
,
可知
,
注意，前者仅对正确，而后者对任一都对，由此可得
，
.
取积分
.
但用替换可得
.
又
,
即
,
所以
.
平方得
.
由沃利斯公式得
.
可知，当时
,
即
.
因此
.
例6求的值.
解.
例7求积分的值.
解
令,则.
原式
.
沃利斯公式在级数收敛判别中的应用
对于一些级数收敛性的判别问题，文献[10]指出若利用沃利斯公式可能会起到事半功倍的效果.
例8判别正项级数，（）的敛散性.
证由于通项含有双阶乘的运算，原则上想到运用比式判别法，但是由于，因此比式判别法失效.
若运用拉贝判别法，由于
，
所以当时，即时收敛，当时则发散，但当时拉贝判别法则无法进行判别.
但如果利用沃利斯公式，不仅对于和时的情况可以判别，：
由沃利斯公式得
.
，当时发散 .
例9二项式级数
当，时条件收敛 .
证令，表示二项式级数在时的通项，则
，
故此二项式级数是一交错级数，且
，
由于，则必存在两个正整数和，使
，
再结合沃利斯公式的推论中式子（1-5）可得
.
即，由判别法可知