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第一章控制系统的状态空间模型
引言
工程系统正朝着更加复杂的方向开展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合,可能是时变的。由于需要满
用向量形式描述,可写为:
状态方程: ()
输出方程: ()
其中
根据系统微分方程建立状态空间表达式
不含作用函数导数项时n阶系统的状态空间表达式
(1.)
选取状态变量:
得到:
即状态方程为：
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〔1.〕
输出方程为： (1.)
含作用函数导数项时n阶系统的状态空间表达式
(1.)
方法一：选取状态变量为
(1.)
即 (1.)
式中，由下式确定：
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(1.)
(1.)
.9)
(1.)
方法二：引入中间变量,令
〔1.〕
并将原微分方程分解成如下两个方程：
选择系统的状态变量为：
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(1.)
得系统状态方程和输出方程
(1.)
假设,那么有
写成矩阵形式
(1.)
(1)
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状态空间表达式的标准形式
考虑由下式定义的系统：
(1.)
式中u为输入，y为输出。该式也可写为
(1.)
下面给出由式〔1.〕或式〔1.〕定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形〔或Jordan形〕标准形。
能控标准形
以下状态空间表达式为能控标准形：
(1.)
(1.)
能观测标准形
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以下状态空间表达式为能观测标准形：
对角线标准形
考虑分母多项式中只含相异根的情况。
该系统的状态空间表达式的对角线标准形由下式确定：
Jordan标准形
下面考虑分母多项式中含有重根的情况。对此，必须将前面的对角线标准形修改为Jordan标准形。例如，假设除了前3个相等外，其余极点相异。于是Y〔s〕/U(s)因式分解后为：
该式的局部分式展开式为
该系统状态空间表达式的Jordan标准形由下式确定：
[] 考虑由下式确定的系统：
试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。
解：能控标准形为：
能观测标准形为：
对角线标准形为：
系统矩阵的特征值的根本性质
n×n维系统矩阵A的特征值〔特征根〕是以下特征方程的根：
n×n维系统矩阵的对角线化
如果一个具有相异特征值的n×n维矩阵A由下式给出：
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作如下非奇异线性变换x = P z，其中
称为范德蒙(Vandemone)矩阵，这里λ1，λ2，···，λn是系统矩阵A的n个相异特征值。将P -1AP变换为对角线矩阵，即
P -1AP=
如果矩阵A含有重特征值，那么不能将上述矩阵对角线化。例如，3×3维矩阵
有特征值λ1，λ2，λ3作非奇异线性变换x = S z，其中
得到
该式是一个Jordan标准形。
[] 考虑以下系统的状态空间表达式：
可写为如下标准形式：
式中
矩阵A的特征值为：
λ1 = －1，λ2 = －2，λ3 = －3
因此，这3个特征值相异。如果作变换
或
x = P z
定义一组新的状态变量z1、z2和z3，式中
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P =
代入可得
将上式两端左乘P -1，得
或者
化简得，
这也是一个状态方程
输出方程可修改为：
y = CP