文档介绍：关于线性规划凸集凸函数
第一页，共19页幻灯片
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设，若对D中任意两点 a
a
)
(
)
2
(
x
则称为D上的凸函数；进一步，若 ≠ 时，(*)式仅〝<〞成立,则称为 D上严格凸函数。
)
(
x
f
)
1
(
x
)
2
(
x
)
(
x
f
对凸的一元函数的几何意义为：在曲线上任取两点P1(x1, ), P2(x2, )弦位于弧之上（见图）。
)
(
x
f
)
(
1
x
f
(x2)
f
2
1
P
P
2
1
P
P
x1
x2
x
(x, y)
p1
p2
)
(
x
f
凹函数，严格凹函数
第八页，共19页幻灯片
+(1- ) -
a
)
(
1
x
f
a
)
(
2
x
f
]
)
1
(
[
2
1
x
x
f
a
a
-
+
=
2
2
2
1
)
1
(
x
x
a
a
-
+
2
2
1
]
)
1
(
[
x
x
a
a
-
+
-
=
2
2
2
1
)
1
(
x
x
a
a
-
+
-
]
)
1
(
2
)
1
(
[
2
1
2
2
2
2
1
2
x
x
x
x
a
a
a
a
-
+
-
+
=
2
1
2
2
2
1
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
-
-
-
+
-
=
(1- )
a
a
)
2
(
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
-
+
=
(1- )
a
a
(x1-x2) ≥0
2
∴ +(1- ) ≥
a
)
(
1
x
f
a
)
(
2
x
f
]
)
1
(
[
2
1
x
x
f
a
a
-
+
所以， = x 是R上凸函数。
)
(
x
f
2
例如，对 = x ，因 x1,x2∈R ， ∈(0,1)
)
(
x
f
"
a
"
2
第九页，共19页幻灯片
例：证明线性函数
是上的凸函数。
同理可证线性函数也是上的凹函数。
第十页，共19页幻灯片
凸函数的性质
性质1 设f 1, f 2为定义在凸集D上的凸函数，为非负实数，则f1, f1+ f2也是D上凸函数。
l
l
性质2 设D是R 中一个凸集，f 是定义在D上的一个凸函数，则f 在D 的内部连续。
n
第十一页，共19页幻灯片
性质4： f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x) 是D上的凸函数。
性质3 设D是中一个非空凸集，f 是定义在D上的一个凸函数，则水平集
是凸集。
{
}
a
a
£
Î
=
)
(
,
x
x
x
f
D
D
第十二页，共19页幻灯片
定理1：设f(x)定义在凸集D上，，令
则
（i) f(x)是凸集D上的凸函数的充要条件是是[0，1]上的凸函数。
（ii) 设，若是[0，1]上的严格凸函数，则f(x)是凸集D上的严格凸函数。
第十三页，共19页幻灯片
凸函数的判断
n
设函数存在一阶偏导数，x∈R ，向量
Ñ