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统计计算课程设计
值，即
任取一组相互独立、同分布的随机变量，在[a,b]内服从分布率p(x),令,则也是一组相互独立、同分布的随机变量，而且
由强大数定理
若记 ,则依概率1收敛到I，平均值法就是用作为I的近似值。
假如所需计算积分为，其中被积函数在[a,b]内可积，任意选择一个有简单办法可以进行抽样的概率密度函数p(x)，使其满足条件：
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记 则所求积分为
因而Monte Carlo近似求积算法为：
(1) 产生服从分布率p(x)的随机数
(2) 计算均值,即有
从数学角度上看定积分可以看成
其中g(x)是某个随机变量X的密度函数，因此积分值I可看成随机变量Z=f(x)/g(x)的数学期望值
为了减少模拟实验的方差应适当选取g(x),使Var（I）尽可能小，如果被积函数f(x)>0,可取g(x)=cf(x),当c=1/I时就有Var(I)=(x)相似的密度函数g(x)，使f(x)/g(x)接近于常数，故而Var(I)接近于0，以达到降低模拟实验的方差，这种减少方差的模拟试验法为重要抽样法。
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分层抽样法是利用贡献率大小来降低估计方差的方法。它首先把样本空间D分成一些不交的小区间，然后在各个小区间内的抽样数由其贡献大小决定。即，定义，则内的抽样数应与成正比。
考虑积分将[0,1]分成m个小区间：
则
记为第i个小区间的长度，i=1,2,...,m，在每个小区间上的积分值可用均值法估计出来，然后将其相加即可给出的一个估计。具体步骤为：
独立产生U(0，1)随机数
计算
计算
于是的估计为，其方差为
其中，
控制变量法利用数学上积分运算的线性特性:
选择函数g(x)时要考虑到：g(x)在整个积分区间都是容易精确算出, 并且在上式右边第一项的运算中对(f-g)积分的方差应当要比第二项对f积分的方差小。
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在应用这种方法时，在重要抽样法中所遇到的，当g(x)趋于零时，被积函数(f-g)趋于无穷大的困难就不再存在，因而计算出的结果稳定性比较好。 该方法也不需要从分布密度函数g(x)， 解析求出分布函数G(x)。 由此我们可以看出选择g(x)所受到的限制比重要抽样法要小些。
模拟过程：
独立产生U(0，1)随机数
计算
计算
控制变量法
通常在蒙特卡洛计算中采用互相独立的随机点来进行计算。 对偶变量法中却使用相关联的点来进行计算。它利用相关点间的关系可以是正关联的，也可以是负关联的这个特点。
两个函数值和之和的方差为
如果我们选择一些点，它们使和是负关联的。这样就可以使上
式所示的方差减小。当然这需要对具体的函数和有充分的了解
独立产生U(0，1)随机数
计算，找g(x),f(x)是相关的，且E[g(x)]=
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计算
3 程序及实现结果
的求解
随机投点法
先利用R 软件产生服从[0,1]上均匀分布的随机数 X,Y, ，计算的个数，即事件发生的频数，求出频率，即为积分的近似值。
R程序
s1<-function(n)
{
f<-function(x) exp(-x)
a<-0
b<-1
x<-runif(n)
y<-runif(n)
m<-sum(y<f(x))
j=m/n
var<-1/n*var(y<f(x))
lis<-l