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NX Nastran根底分析指南
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
UG有限元分析
第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
有限元分析方法介绍
计算机软硬件技术的程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。
1956年，M在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把连续几何模型划分成一个个三角形和矩形的“单元〞，并为所使用的单元指定近似位移函数，进而求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
1954—1955年，在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。
1960年，Clough在著名的题为“The Finite Element in plane stress analysis〞的论文中首次提出了有限元〔Finite Element〕这一术语，并在后来被广泛地引用，成为这种数值方法的标准称谓。
与此同时，数学家们那么开展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法，这为有限元方法在以后的开展奠定了数学和理论根底。
在1963年前后，经过〔卞学磺〕等许多人的工作，人们认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，从而开展了使用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
1965年和〔张佑启〕发现，对于所有的场问题，只要能将其转换为相应的变分形式，即可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
〔Galerkin〕法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国的力学工作者为有限元方法的初期开展做出了许多奉献，其中比较著名的有：陈伯屏〔结构矩阵方法〕，钱令希〔余能原理〕，钱伟长〔广义变分原理〕，胡海昌〔广义变分原理〕，冯康〔有限单元法理论〕。
有限元法的根本思路
有限元法的根本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法加以组合，从而形成原有系统的一个数值近似系统，也就是形成相应的数值模型。
下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。
等截面直杆在自重作用下的材料力学解答：
受自重作用的等截面直杆如图1-3所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布、杆的应变和应力。
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
〔1-4〕
图1-3 受自重作用的等截面直杆 图1-4 离散后的直杆
等截面直杆在自重作用下的有限元法解答：
〔1〕连续系统离散化
如图1-4所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过公共点相连接。在有限元法中将两段之间的公共连接点称为节点，将每个有限段称为单元。节点和单元组成的离散模型就称为对应于连续系统的“有限元模型〞。
有限元模型中的第i个单元，其长度为Li，包含第i，i+1个节点。
〔2〕用单元节点位移表示单元内部位移
第i个单元中的位移用所包含的节点位移来表示：
〔1-5〕
其中为第i节点的位移，为第i节点的坐标。第i个单元的应变为，应力为，内力为：
〔1-6〕
〔1-7〕
〔1-8〕
〔3〕把外载荷归集到节点上
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第1章 有限元分析方法及NX Nastran的由来
把第i单元和第i+1单元重量的一半，归集到第i+1节点上，如图1-5所示。
图1-5 集中单元重量
〔4〕建立节点的力平衡方程
对于第i+1节点，由力的平衡方程可得：
〔1-9〕
令，并将〔1-8〕代入得：
〔1-10〕
根据约束条件，。
对于第n+1个节点，
〔1-11〕
建立所有节点的力平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的节点位移。
有限元法的计算步骤
有限元法的计算步骤归纳为以下3个根本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。
〔1〕网格划分
有限元法的根本做