文档介绍：第九章复****br/>第一节多元函数的基本概念
***点与点集的关系（关于点P）：
P属于R*R与E包含于R*R的关系：（域与域的关系）
内点 U（P）包含于E；外点U（P）∩E=空集；边界点（U（P）中既有，也有不属于E的点）
***在点（x,y）的全增量可表示为，其中A、B不依赖于而仅与x,y有关，，则称函数在点（x,y）可微分，而A称为函数在点（x,y）的全微分，记作，即.
定理一（必要条件）如果函数在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）的偏导数
必定存在，且函数点（x,y）的全微分为.
定理2（充分条件）如果函数z=的偏导数在点（x,y）连续，则函数在该点可微分.
P73 例一计算函数z=的全微分.
解因为所以
P73 例3 计算函数u=x+sin的全微分.
出题人：王海峰，立晨晨
解因为所以
第四节多元复合函数的求导法则
重点知识点
复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1 如果函数及都在点可导，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数公式为
（全导数）
例一．设函数，而，，求全导数．（陆曼）
解
．
复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 若及在点具有偏导数，而函数在对应点
具有连续偏导数，则复合函数在点两个偏导数存在，且有公式
；
例2．设函数，而，，求．（陆曼）
解

三、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数, 函数v=y(y)在点y可导, 函数z=f(u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数, 则复合函数z=f[j(x, y), y(y)]在点(x, y)的两个偏导数存在, 且有
, .
特殊情形设函数具有偏导数，而函数可微，则复合函数在点偏导数存在，且有公式
；
．
注意与区别:
是把函数中的看成常数，对求偏导，
是把中看常数，对求偏导．
前者是复合后对的偏导数，后者是复合前对的偏导数．
例3．设函数，而，求和．（陆曼）
解

．
四．复合函数的二阶偏导数
若函数，，二阶偏导数连续，则复合函数
存在二阶偏导数．
记号，，，．
例6．设复合函数，其中对具有二阶连续偏导数，求．（王传美）
解

．
复合函数求偏导数步骤：
（1）搞清复合关系——画出复合关系图；
（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；
（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．
五．全微分形式不变形
设函数具有连续偏导数，则全微分
，
若函数，有连续偏导数，则复合函数的全微分为

．
可见无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性．
，其中，．（王传美）
解因为
又因为，，
所以

若先求出，代入公式得结果完全一样．
陆曼王传美
第五节隐函数的求导公式
一·知识点
1. 隐函数存在定理
2. 由方程F（x,y,z）=0确定z=z(x,y),求z对x,y偏导的方法：
（1）公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F，注意应将x,y,z看作独立变量，对F（x,y,z）=0分别求导利用公式。
（2）直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y求导，这时将x,y看作独立变量，z是x,y的函数，得到含的两个方程，解方程可求出。
（3）全微分法：利用全微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成dz=u(x,y,z)dx+v(x,y,z)dy,则dx,dy的系数便是。在求全微分时，z应看作自变量。
二·例题
1.

2. 设，，求，，和.
解:将所给方程的两边对x求导并移项

在的条件下，

将所给方程的两边对y求导，用同样方法得

，求.
解：令
则

（卢佳丽，徐璐）