线性代数第四版答案.docx

文档介绍：第一章 行列式
利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1)
解
2(4)30(1)(1)
1 1 8
0132
(1)81(
4)(1)
24
8
(3) ;
证明
(c4 c3 c3 c2 c2 c1 得)
(c4 c3 c3 c2 得)
(4)
(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明
=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)
(5) xn a1xn 1 an 1x an
证明 用数学归纳法证明
当 n 2 时

命题成立
假设对于 (n 1) 阶行列式命题成立

即
Dn 1

xn 1

a1

xn 2

an 2x

an 1
则 Dn 按第一列展开

有
xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an
因此 对于 n 阶行列式命题成立
设 n 阶行列式 D det(aij ), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转
90 、或依副对角线翻转 依次得
证明 D3 D
证明 因为 D det(aij ) 所以
同理可证
计算下列各行列式 (Dk 为 k 阶行列式 )
(1) , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素
都是 0
解
(按第 n 行展开 )
an an 2 an 2(a2 1)
(2) ;
解 将第一行乘 ( 1)分别加到其余各行 得
再将各列都加到第一列上 得
[ x (n 1)a]( x a)n 1
(3) ;
解 根据第 6 题结果 有
此行列式为范德蒙德行列式
(4) ;
解
(按第 1 行展开 )
再按最后一行展开得递推公式
D2n andnD2n 2 bncnD2n 2 即 D2n (andn bncn)D2n 2
于是
而
所以
(5) D det(aij ) 其中 aij |i j |;
解 aij |i j|