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平面几何中的向量方法
[学****目标] .2.
体会向量是一种处理几何问题的有力工具 .、分析和解决实际问＝kx＋b的法向量为(k，－1)．
(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线 l1：A1x＋
B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为
n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)．
当n1
∥n
时，l
∥l
或l
与l
重合．即AB
－AB＝0?
l∥l
或l
与l
重合；
2
1
2
1
2
12
21
12
1
2
当n1⊥n2时，l1⊥＋B1B2＝0?l1⊥l2.
思考
直线l1
：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0
2
垂直，则a的值
与直线l：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0
为________．
答案±1
解析
l1⊥l2，
n1·n2＝(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)
(a－1)(－a－1)＝0，
∴a＝±1.
题型一
向量在平面几何中的应用
例1
求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解
如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为
x轴、y轴建立直角坐标
系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，
则D(a,0)，C(0，a)，
→
→
从而可求：AC＝(－2a，a)，BD＝(a，－2a)，
→
→
→→
AC·BD
不妨设AC
、BD的夹角为θ，则cosθ＝
→→
|AC||BD|
＝－2a，a·a，－2a＝
－4a2
4.
2＝－
5a·5a
5a
5
4
故所求钝角的余弦值为－ 5.
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跟踪训练 1 已知正方形 ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
→ →
(1)BE＝(－1,2)，CF＝(－2，－1)．
→ →
∴BE·CF＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
→ →
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→
(2)设点P坐标为(x，y)，则FP＝(x，y－1)，
→
→→
FC＝(2,1)
，∵FP∥FC，
x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由
→→
，得y＝－2x＋4，
BP∥BE
x＝2y－2，
6，
由
得
x＝5
y＝－2x＋4
8
y＝
，
5
∴点P的坐标为(
6，8
5
5)．
∴
→
6
2
82
→
|AP
|＝
＋
＝2＝|AB
5
5
|，
即AP＝AB.
题型二 向量在解析几何中的应用
例2已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、
AB的中点．
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线 CH所在直线方程．
解(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，
→ →
则DM∥DE.
→ →
DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)．
(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
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→
→
则CN⊥AB.
→→
∴CN·AB＝0.
→
→
．
又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4