文档介绍：关于数值计算方法与算法
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求解线性方程组 Ax = y，可用直接法。当 A 为稀疏矩阵时，直接法将破坏矩阵 A 的稀疏性。
我们可以对线性方程组进行等价变换，构造出等价方程
组 x = Mx+g,由优时，雅可比迭代收敛。
证明方法一：根据严格对角占优矩阵的定义。
雅可比迭代矩阵：
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方法二：反证法。
因为A为严格对角占优矩阵，，aii≠0.
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雅可比迭代算法
算法描述：
1. 输入系数矩阵A和常数项向量y；
2. 形成雅可比迭代矩阵B和向量g
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3. 赋初始值
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4. 实现迭代
5. 输出方程组的解 x2[i]，i=1,2,…,n.
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高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代
高斯-塞德尔迭代的计算
在雅可比迭代()的迭代过程中，可用新求出的x(k+1)的分量来代替x(k)的分量参与计算，直到用x(k+1)的前n-1分量代替x(k) 的前n-1个分量求出为止，即可由（）得到高斯-塞德尔迭代：
算法
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令B=L+U，其中
则高斯-赛德尔迭代可写成矩阵形式
或写成
其中，为高斯-塞德尔迭代矩阵，
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高斯-塞德尔迭代的收敛性
，高斯-塞德尔迭代收敛的充分必要条件为
也可以利用条件来判断高斯-塞德尔迭代收敛。
定理当系数矩阵为严格对角占优时，高斯-塞德尔迭代收敛。
证明。反证法。
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定理当系数矩阵A为正定矩阵，高斯-塞德尔迭代收敛。
证明
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设系数矩阵为
判定高斯-塞德尔迭代格式的收敛性。
解高斯-塞德尔迭代矩阵为其中，
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高斯-塞德尔迭代算法
根据()，可以写出高斯-塞德尔迭代的核心部分：
记
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松弛迭代
高斯-塞德尔迭代为
松弛迭代法是高斯-塞德尔迭代法的一种变化形式。令
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其中，参数ω>0称为松弛因子。将()变形为
()或()称为松弛迭代法。迭代矩阵为
当0<ω<1时，称为低松弛迭代；
当1<ω<2时，称为超松弛迭代；
当ω=1时，即为高斯-塞德尔迭代。
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实际用计算机计算时，采用()的分量形式，即
雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代和松弛迭代均为单步线性迭代。
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松弛迭代的收敛性
定理松弛迭代收敛的必要条件是0<ω<2。即若松弛迭
代收敛，则必有0<ω<2。
证明松弛迭代矩阵其中，
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如果松弛迭代收敛，，即Sω的所有特征值的绝对值均小于1。由特征方程的性质得
由（1）和（2）两式得
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定理如果系数矩阵A为严格对角占优，当松弛因子时，则松弛迭代收敛。
。
若A为对称正定矩阵时，则当时，
松弛迭代收敛。
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松弛迭代算法基本上与高斯-塞德尔迭代算法相同。
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逆矩阵的计算
1. 用初等变换
2. 用伴随矩阵
3.