文档介绍：解三角形
一、基础知识
1、相关三角函数公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(6Z ±/?) = sin df cos/? 土 cos a sin /? co^z±/?) = cosifco^ + siiizsiiXB) =sinC, cos (.A+B) = — cosC, sin——=cos^
锐角三角形u>最大角是锐角=MJ丸鱼都是铤角.==任西 角初都是蚀角= C > cos = 壬第三边的于方.
其他定理
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；大边对大角，小边对小角
两个常用结论
. JT
①A>B是sinA>sinB的充要条件；②若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=@
二、基本方法
1、解三角形
条件
解法
己知两角一边， 如 A、B、a
用正弦定理欢=笠，求得" b a
已知两边和其中一
边的对角，
如b、 A
方法一：用正弦定理竺四=里业，求得sinB,若sinB>l则无 b a
解，若sinB = l则一解，若sinB<l则可能有两解、一解，要结合 大边对大角定理进行判断，如果B是大角则有两解，否则一解.
方法二：用余弦定理a2 =b2 +c2-2bcosA,求得c.
已知两边和其夹角， 如b、 C
用余弦定理c2 =a2 +b2 -2abosc,求得c,再用余弦定理求出另 外两角.
已知三边，
如。、b、 c
济 2 _ 2
用余弦定理cosA = ,求得A,同理求得B、C.
2bc
2、三角形综合问题的解法
突破口是边角关系的分析，正余弦定理都能实现边角关系的互化，但边化角往往用 正弦定理，角化边往往用余弦定理。
问题中若涉及面积问题，首先选择面积公式，弄清条件或需要求的几个量，选择公
式时往往以已知角为主。
若三角形中有一个角巳经确定，如A,由此可知B+C,用此可消去一个角，也可以
结合余弦定理得a2=b2+c2 -28cos A ,转化为边的关系。
若三角形中有两个角已经确定，如A、B,则可以确定另一角C,从而可以选择正 弦定理结合条件求解。
在三角形内进行三角恒等变形时，往往遇见sinBcosC + cosBsinC这类式子，要
将其转化为sin(B+C),当化简到一定程度不能化简却又得不到所求时，一定要用内角
和定理消角后再变形，如sin(3 + C) = sinA。
题目条件不足，无法求解时，要主动结合正余弦定理，挖掘出隐含条件后再求解，
zy ciiq A
如求得QC后，可结合正弦定理一=——，形成方程组求解。
c sinC
三、典型例题
1、 (2010年高考广东卷理科11)已知a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C所对的边，若
a=l, b= a/3 , A+C=2B,则 sinC=L
2、 (2010 年高考湖北卷理科 3)在ZkABC 中，a=15, b=10, ZA=60°,则 COsB=( )
. 2^2 R 2V2 & n V6
3 3 3 3
3、 (2010年高考天津卷理科7)在AABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若
a2 —b2 = y/3bc , sinC=2 ^3 sinB,贝A=( )
A、30° B、60° C、120° D、150°
4、 (辽宁)AABC的三个内角A, B, C所对的边分别为q, c, QsinAsin8+/?cos2&=7^o ,
b
则史()
a
A. 2a/3 B. 2a/2 C. y/3 D. a/2
5、 (四川)在 AABC < sin2 B + sin2 C - sin B sin A 的取值范围是( )
TC TC TC 7C
(A) (0, -］ (B)［兀)(c) (0, 一］ (D)［一,兀)
6 6 3 3
6、（湖南）.在AABC中，角3,。所对的边长分别为a, b, = 120 , c = J*,
A. a>b B. a<b C. arb D. a与人的大小关系不能确定
7、 （2010 年宁夏卷 16）在Z\ABC 中，D 为边 BC ±一点，BD=-DC, ZADB=120° , 2
AD=2,若z^ADC的面积为3-右，贝U/BAC= 8、（2010年高考江苏卷试题13）在锐角三角形ABC, A、B、 b a / 八 5 tan C tan C
一 + ― = 6cosC,则 +
a b tan A tan B
9、（天津）如图，在中，D是边AC上的点，且
AB = CD,2AB =也BD, BC = 2BD ,则 s