文档介绍：初三数学教材辅导
2005年10月许建立
2005--2006
一、主要内容
:相交、相切和相离,其中的重点是直线和圆的相切。要熟悉直线和圆相切的判定定理和性质定理。在此基础上进一步研究和圆相切的两条切线的性质----切线长定理,及圆的外切三角形和三角形的内切圆。
2. 弦切角。弦切角也是一种和圆有关的角,弦切角定理及其推论是本单元的另一重点,对于角及弧的度数的运算和等角的推证十分有用。
、切割线定理及其推论统称为圆幂定理,是一组和圆有关的比例线段定理也是本单元的重点,对于推证比例线段和计算很方便。
第二单元直线与圆的位置关系
二、重点、难点分析
:
⊙o的半径为r,圆心O到直线L的距离为d
⑴ d<r 直线L和⊙o相交
⑵ d =r 直线L 和⊙o相切
⑶ d >r 直线和⊙o相离
这组等价关系接示出d与r相比较的三种数量关系和L与圆O的三种位置关系之间“一对一”。
研究直线和圆的位置关系,可以用d与r的大小关系来区别,
也可以用直线和圆的交点个数来区别
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。实际是前面的等价关系⑵的同义语切线的判定定理,只是改述为“①直线经过半径外端;②直线垂直于这条半径。”就更加清楚更加形象,更易于应用了。
⑴定理的剖析
对于切线的性质及两个推论中“圆心o 到切线L的距离
的线段OA”具有如下三条性质:
①经过圆心O
②垂直于切线
③经过切点A
由于圆心O和切点A都是唯一确定的,所以过定点O或A和
直线L垂直的直线也是唯一确定的。因此具有①②③中的两个性质必有另一个性质。
⑵定理的应用
在判定切线时,常使其先具备“过半径外端”和“垂直于半径”两个条件之一,再证明具备两条件中的一条。
判定直线和圆相切时常见的辅助线如:
①连结O﹡,再证明垂直
(既:连半径,证垂直)
②作O﹡垂直于﹡﹡于点﹡,再证明是半径
(既:作垂直,证半径)
学生在此的困惑就是何时“连结”,何时“作垂直”。要使学生体会到,
两种应用的方法及过程有怎样的不同。
在应用切线的性质时,常作的辅助线是:连结过切点的半径。
既:过切点连半径必垂直。
讲清书94页例3与例4使学生分清何时用“判定”,何时用“性质”
如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB和CD
相等,且AB与小圆相切于点E
求证:CD与小圆相切
连结OE (性质“连半径必垂直”)
作OF⊥CD于F (判定“作垂直证半径”)
常见错误:作OE ⊥AB
连结OF
已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,
OC平行于弦AD
求证:DC是⊙O的切线
连结OD (判定“连半径证垂直”)
常见错误:作OD⊥CD
学完本小节后要及时帮助学生总结判定切线的方法和切线的性质
判定切线有三种方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线
(2)和圆心距离等于半径的直线是圆的切线
(3)过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线
切线的性质主要有五个(1)切线和圆只有一个公共点
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径
(3)切线垂直于过切点的半径
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点
(5) 经过切点垂直于切线的直线必过圆心
切线长定理告诉我们 PA=PB
PO平分∠APB
由切线和切线长定理可以看出切线和切线长是两个不同的概念。切线
是一条直线,是指直线这一图形本身,而切线长是一条线段的长,是圆
外一点和切点之间的距离。作为切线是无长度可言的。
这些性质再次体现了圆的轴对称性。在这一图形中
直线OP就是对称轴, A、B关于OP对称,因此不仅
有上述两个结论,还可以得到OP垂直平分弦AB,平
分弧AB, ∠AOP= ∠BOP, ∠AOB 与∠APB互补等结论,
这些结论又可为推证等线段、等角、等弧、全等三角形、
相似三角形、比例线段等提供方便。
因此在学习切线长定理时,不仅要只得出定理的两个结论,还要进一步
追问还可推出哪些结论,而这些结论对解答填空题、选择题拿来就可用。
等角、等弧、等线段、全等三角形、等腰三角形
相似三角形、平行线等