方差与协方差理解.docx

文档介绍：§2 方差、协方差与相关系数
方差
例1 比较甲乙两人的射击技术，已知两人每次击中环数分布为：
7
8
9
6
7
8
9
10
： 01. 01.
j 0
j 0
j !
2
所以 Var
2
2
.
例 3
设
服从 [ a, b ]上的均匀分布
U [a, b] ，求 Var
.
E 2
b
1
dx
1 a2
ab b2
x2
解
a
b
a
3
,
2
1 a2
ab b2
1 a b
1 b a 2
Var
3
2
12
.
服从正态分布 N
2
例 4
设
a,
，求 Var .
解
此时用公式 (2)，由于 E
a ,
E(
a)2
( x a)2
1
e ( x a )2 / 2 2 dx
Var
2
2
z2 / 2
2
dz
z e
2
2
ze z2 /2
e z2 /2dz
2
2
2
g 2
2
.
可见正态分布中参数
2 就是它的方差 ,
就是标准差 .
方差也有若干简单而重要的性质
. 先介绍一个不等式 .
切贝雪夫 (Chebyshev)不等式
若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数
ε，恒有
P
E
2
Var
(4)
.
证
设
的分布函数为 F x
，则
P E

dF ( x)
(x
E
)
2
= |x E |
|x E |
2
dF ( x)
1
( x E )
2
dF ( x)
Var
2
2
=
/.
这就得 (4)式 .
切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义 . 事实上，该式断言 落在
,E
与 E
,
内 的 概 率 小 于 等 于 Var
/
，或者说，
落在区间
2
E
, E
内的概率大于
1- Var
/
2 ，从而只用数学期望和方差就可对上述概率进
行估计 . 例如，取
ε=3
Var
，则
P
E
Var
1 Var3
Var
2
≈ .
当然这个估计还是比较粗糙的（当
～ N a, 2
时，在第二章曾经指出,
P(| ξ-E
|
3 Var
)=P(| ξ-a |
3σ)≈ ） .
性质 1
Var
=0 的充要条件是
P(ξ=c) =1，其中 c 是常数 .
证
显然条件充分 . 反之，如果 Var
=0，记 E
= c, 由切贝雪夫不等式 ,
P(| ξ- E |
ε)=0
对一切正数ε成立 . 从而
P
c
1
P