文档介绍：2022年考研数学数学二试题答案
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2022年考研数学二试题分析、详解和评注
一，选、解答题(15－23小题，共94分)．
(15)(此题总分值9分)
求极限．
【详解1】
＝
(或，或)
．
【详解2】
＝〔或〕
．
(16)(此题总分值10分)
设函数由参数方程确定，其中
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是初值问题的解，求．
【详解1】由得
，积分得．
由条件，得，即，
故 ．
方程组两端同时对求导得
．
所以，
从而
．
17〔此题总分值9分〕计算．
【详解1】 由于，故是反常积分．
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令，有，．
．
【详解2】
令，有，．
，
所以．
(18)(此题总分值11分)
计算，其中．
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【详解】将区域分成如下图得两个子区域和．于是
．
(19)(此题总分值11分)
设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，假设该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．
【详解】根据题意，因为
旋转体体积，侧面积．
所以 ．
上式两边同时对求导得
．
解得 ，．
由，得．
所以 或 ．
(20)(此题总分值11分)
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证明积分中值定理：假设函数在闭区间上连续，那么至少存在一点，使得；
假设函数具有二阶导数，且满足，，那么至少存在一点，使得．
【证法1】假设函数在闭区间上连续，那么必存在最大值和最小值．即
，
于是有
．
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得
因此而的证．
〔II〕存在，使得．
由，知．
由，利用微分中值定理，存在，使得
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．
由，利用微分中值定理，存在，使得
．
存在存在，使得
．
〔21〕(此题总分值11分)
求函数在约束条件和下的最大值和最小值．
【详解1】作拉格朗日函数
．
令
解之得故所求得最大值为72,最小值为6．
【详解2】由题意知，在条件下的最值．
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令
解之得故所求得最大值为72,最小值为6．
(22) (此题总分值12分)．
设元线性方程组，其中
，，．
〔I〕证明行列式；
〔II〕当为何值时，该方程组有惟一解，并求．
〔III〕当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．
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【详解】〔I〕【证法1】数学归纳法．记
以下用数学归纳法证明．
当时，，结论成立．
当时，，结论成立．
假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得
故 ．
【注】此题〔1〕也可用递推法．由得，．于是
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〔I〕【证法2】消元法．记
．
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〔II〕【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法那么，将得第一列换成，得行列式为
所以，．
〔III〕【详解】 当时，方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为