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中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用
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中心对称矩阵在矩阵特征分解中的应用
摘要
本文针对偶数阶中心对称矩阵，引入偶数阶置换矩阵，探索了矩阵特征分解的新方法。该方法是通过对矩阵的分块，将复杂大型矩阵特征值问题，转化为几个小矩阵特征值求解，使得问题计算的复杂度大大缩减。
关键词：中心对称矩阵置换矩阵特征分解
定义1：如果矩阵P=（）满足
其中
则P是中心对称矩阵[1]
形如，都是中心对称矩阵。

定义2：如果，则为n阶置换矩阵
设为n阶置换矩阵，则用左乘（或右乘）矩阵P，可以将其行（或列）按反序重新排列。
定理1：矩阵P是中心对称矩阵当且仅当

证明：若，因为，则，且
其中
因此P是中心对称矩阵。
反之，若P是中心对称矩阵，则显然有.
定理2：设P和Q都是n阶中心对称矩阵，则P+Q，PQ和cP（c为任意实数）仍是中心对称矩阵
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证明：设P和Q都是n阶中心对称矩阵，则由定理1，
，
，
.
因此，P+Q，PQ和cP仍是中心对称矩阵。
引理1：对于偶数阶（n=2s）置换矩阵J，存在变换矩阵Q，使得为
证明：设，则，，故
即，所以,分别是的属于特征值1，-1的特征向量。同样，设，有，所以和分别是属于特征值1，-1的特征向量。当P为偶数阶（n=2s）时，继续做下去，可得n=2s个相互正交的特征向量，将它们排列为变换矩阵Q的列向量，得
，
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此时有.
对于n阶中心对称矩阵P，则，因而，所以
.
定理3：对于偶数阶中心对称矩阵P，存在