文档介绍：二次函数
初二年(7)班
纪文滨
1、什么叫做二次函数?它的图象是什么?它的对称轴、顶点坐标各是什么?
答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),y叫做x的二次函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x= ,顶点坐标是( , )。
2、二次函数的解析式有哪几种?
有三种:⑴一般式:y = ax2+bx+c(a≠0)
⑵顶点式:y = a(x-h)2+k 顶点为(h,k)
⑶交点式:y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交点:(x1,0),(x2,0)
例1:根据二次函数的图象上三个点的坐标(-1,0),(3,0),(1,-5),求函数解析式。
解法一设所求二次函数解析式为:y = ax2+bx+c.
又抛物线过点(-1,0),(3,0),(1,-5),依题意得
a – b + c = 0
9a+3b+c = 0
a + b + c=-5
解得
∴所求的函数解析式为。
解法二∵点(-1,0)和(3,0)是抛物线与x轴的两个交点,故可设二次函数解析式为:y=a(x+1)(x-3), 又抛物线过点(1,-5), 有-5=a(1+1)(1-3)解得 ∴, 即所求的函数解析式为。
解法三∵点(-1,0)和(3,0)是关于直线x =1对称,显然(1,-5)是抛物线的顶点坐标,故可设二次函数解析式为:y = a(x-1)2-5, 又抛物线过点(3,0),0=a(3-1)2-5, 解得, ∴,
即所求的函数解析式为。
解法四经上述分析,点(1,-5)是抛物线的顶点坐标,依题意得:
解得
即所求的函数解析式为。
a-b+c=0
(三)知识升华
抛物线位置与系数a,b,c的关系:
⑴a决定抛物线的开口方向: a>0 开口向上
a<0 开口向下
⑵c决定抛物线与y轴交点的位置:
①  c>0 <=>图象与y轴交点在x轴上方;
②  c=0 <=>图象过原点;
③  c<0 <=>图象与y轴交点在x轴下方。
⑶a,b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x = )
①    a,b同号<=>对称轴在y轴左侧;
②    b=0 <=>对称轴是y轴;
③ a,b异号<=>对称轴在y轴右侧
⑷顶点坐标是( , )。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况:
①  △>0<=>抛物线与x轴有两个交点;
②  △=0<=>抛物线与x轴有唯一的公式点;
③  △<0<=>抛物线与x轴无交点。
⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示,x= 为该图象的对称轴,根据图象信息你能得到关于系数a,b,c的一些什么结论?
-1 0 1 x
y
【分析与参考答案】
首先观察到二次函数的图象为抛物线,其对称轴为直线x= ,抛物线与x轴有两个交点,交点的横坐标其一大于1,另一个介于-1与0之间,抛物线开口向上,顶点的纵坐标及抛物线与y轴的交点的纵坐标均介于-1与0之间,由此可得如下结论:
⑴a>0;
⑵-1<c<0;
⑶b2-4ac>0;
⑷∵,∴2a=-3b;
⑸由⑴,(4)得b<0;
⑹由⑴,⑵,⑸得abc>0;
⑺考虑x = 1时y<0,所以有a+b+c<0;
⑻又x = -1时y>0,所以有a-b+c>0;
⑼考虑顶点的纵坐标,有0<c- <-1。
-1
(四) 练习:(巩固知识)
y
  4
3 8 x
1、如图所示:求抛物线的解析式。
由图象得:抛物线过(8,0),(0,4)对称轴是直线x = 3,从而可得抛物线又过(-2,0)。
解法一:设抛物线的解析式为:y = ax2+bx+c,依题意得:
c=4 解得
4a-2b+c=0 c = 4
∴所求的函数解析式为:
64a+8b+c=0
解法二:设抛物线的解析式为:y = a(x-3)2+k,依题意得:
a(0-3)2+k=4 k =
∴所求的函数解析式为: 。
a(8-3)2+k=0 解得
解法三:设抛物线的解析式为:y = a(x-8)(x+2),依题意得:
4=a(0-8)(0+2) 解得
∴所求的函数解析式为: 。