文档介绍：第四章连续系统的s域分析
拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
二、收敛域
三、(单边)拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
拉普拉斯变换逆变换
复频域分析
一、微分方程的变换解
二、系统函数>0，F(j)不存在。
例f(t)=e2t(t) ←→F(s)=1/(s –2) ,  >2；其傅里叶变换不存在。
拉普拉斯变换性质
单边拉普拉斯变换性质
一、线性性质
假设f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
那么 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例　f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
拉普拉斯变换性质
例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s) =
求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。
解：
y(t)= 4f()
Y(s) = 4×2 F(2s)
二、尺度变换
假设f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
那么f(at) ←→
Re[s]>a0
拉普拉斯变换性质
三、时移〔延时〕特性
假设f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 ,
那么f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合
f(at-t0)(at-t0)←→
拉普拉斯变换性质
0
T
2T
3T
……
t
四、复频移〔s域平移〕特性
假设f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja,
那么f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a
例1:因果信号f(t)的象函数F(s)=
求e-tf(3t-2)的象函数。
解：e-tf(3t-2) ←→
拉普拉斯变换性质
五、时域的微分特性〔微分定理〕
假设f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0,
那么f’(t) ←→ sF(s) – f(0-)
f’’(t) ←→ s2F(s) – sf(0-) –f’(0-)
f(n)(t) ←→ snF(s) –
假设f(t)为因果信号，那么f(n)(t) ←→ snF(s)
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
六、时域积分特性〔积分定理〕
拉普拉斯变换性质
1
0
0
0
例1：
拉普拉斯变换性质
例2：—9
应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换：
拉普拉斯变换性质
七、卷积定理
时域卷积定理
假设因果函数 f1(t) ←→ F1(s) , Re[s]>1 ,
f2(t) ←→ F2(s) , Re[s]>2
那么 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s)
复频域〔s域〕卷积定理
拉普拉斯变换性质
八、s域微分和积分
假设f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 那么
例1：t2e-2t(t) ←→ ?
e-2t(t) ←→ 1/(s+2)
t2e-2t(t) ←→
拉普拉斯变换性质
例2：
例3：
拉普拉斯变换性质
九、初值定理和终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞〕，而不必求出原函数f(t)
初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数〔即F(s)为真分式，假设F(s)为假分式化为真分式〕，
那么
终值定理
假设f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0, 0<0，那么
拉普拉斯变换性质
例1：
例2：
拉普拉斯变换性质
初值定理证明：
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。
通常的方法〔1〕查表
〔2〕利用性质〔3〕局部分式展开 -----结合
假设象函数F(s)是s的有理分式，可写为
假设m≥n 〔假分式〕,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
拉普拉斯逆变换
由于L-1[1]=(t)， L -1[sn]=(n)(t)，故多项式P(s)的