文档介绍：本章共8学时，其中，讲授6学时****题课1学时，讨论课1学时。
上课前应复****电路分析”知识。
复****高等数学”微分方程的解法相关知识。
讲解本部分知识不应快，应先易后难，循序渐进。要对比“电路分析”的相关 -0
特解)的函数形式与激励函数形式有关
求解方法是将激励e(t X弋入方程(2)右端，化简右端函数式称为“自由项”，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即可求出特解rpt
激励函数e(t '当特解的对应关系，见P46表2-2。
例：2-4 给定方程 r "(t )+2r '(t )+3r(t )=e'(t )+e(t )
若(1) e(t)=t2, (2) e(t ) = 9分别求两种情况下此方程的特解
解：(1)将e(t )= t2代入方程得：自由项为t2+2t
3
2
9
_ W ~27
3B1
4B1 3B2 =2
2B1 2B2 3B3 =0
故设特解yp(t4B1t2 +B2t +B3代入方程得
B3 =
对比系数得：
(2)当e(t )=9 ,可选与。)=Bet,代入方程后得
1 ,
于是特解rp t = et p 3
n
于是完全解r t =%. Ae」t - rp t i 1
若给定微分方程和激励信号e(t),在给出一组求解区间内的
边界条件，便可确定待定系数Ao 若e(t层在t=0时刻加入，则把求解区间定为 0+Wt(笛，通常取
t =0 +这样对应的一组条件称为初始条件。
微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程
=1,2,3，…n称为系统的“固有频率”(自由频率，自然频率)；特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由响应％。叶口与外加激励信号
e(t内关的强迫响应rp(t即成的。
始点的跳变一一从0?1]0+的转换
在系统分析中，把响应区间确定为激励信号 e(t加入后，系统
变化区间，一般e(t足E t=0时刻加入，这样系统的响应时间为
0+S ,若系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态，
r储0_）= r（0_,-r（0J……，吧/0_J这组状态称为系统的起始 dtdt
状态（0 —状态），它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。
在e（t加入之后，这组状态从t = 0 —到0邛寸刻可能发生变化。完全
n
响应表达式r（t）=£ AieH +rp（t）中常数Ai（i =1,2,…n） i 1
是由响应区间内t =0+时刻的一组状态确定的。
这组状态称为初始条件（简称0+状态）。
由此可见，用时域经典法求解系统的响应时，为确定自由响应部分常数A（i=1,2,…n ）,还必须根据系统的0—状态和激励情况
求出0 +状态。
对于具体电路，0 —状态就是系统中储能元件的储能情况，一般情况
下，先求出电容上的起始电压和电感中的起始电流，Vc（0_）,
局0 _）。
当电路中没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容及没有冲激电压（或阶跃电流）作用于电感，则换路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生突变，即Vc（0_） = Vc（0 +）,
iL（0_）=iL（0 + ）,然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求得0+时
刻的其他电流或电压值，下面以具体例子，说明这种情况下电路响应的求解方法。
例：如图所示
而…蟹|川川仙⑵
将(2)式代入(1)式子得
令Ucp(t产B则代入方程得
而 uc 0 =2V
丁uc(t )的电压不能突变，故
将Uc(0 + )=2V代入
uc(t )=Ae」u(t)+4 ,得
A=-2
2-5例如图所示电路，t <0开关S处1位置且已达到稳定，当t=0时，由1转向2,建立电流i(t)的微分方程并求解i(t)在t之0十时的变化。
解：32。)=06十轧。)(1)
…看X R2
(2)
i(t)=ic(t)+iL(t)=Cd^+iL(t)(3)
dt
消去讥(t ), idt居
22
9i(t)+7 = i(t )+10i(t )=鼻a6 + 6卓一)+4326 (4)
出出出dt
a .求齐次方程
特征方程：:2 7:：^ -^10 =0
a)求特解：
当t之0 +时,e2(t)=4v代入(4)式得
故方程 i "(t )+7i(t )+10i(t )=16(5)
令ip(t)=B代入(5)式得
故系统的完全解为
i(t )=Ae® +A2e_t+e(t 至0十)(6)
5
, A2
由于无冲激电压，故电容电压不能突变
，: Vc(0 + )=Vc(0」,
而Vc 0=