文档介绍：第五章****题第一部分 01-15
M 为线性空间 X 的子集，证明 span( M )是包含 M 的最小线性子空间．
[ 证明
则由
所以

] 显然 span( M )是 X 的线性子空间．设 N
由于 M 闭， x0
M ，故存在 r > 0，使得 || x0
y || r ， y
M．则当 an 0 时有
| a | = | a
|
r··(1/r)
| a | ||·x
+ y /a ||
(1/·r) = || a
x
+ y
||
(1/r)·，
n
n
n
0
n
n
n
0
n
所以数列 { an } 有界，故存在 { an } 的子列 { an(k) } 使得 an(k)
a
．
这时 yn(k)
n
0
n
n 0
z a x
0
M
．所以
，所以
L
闭．
= (a x
+ y ) a x
z L
[ 注]
在此题的证明过程中，并未用到“
X 为完备的”这一条件．
7. 证明： a. 在
2
1
2
1
2
是等价
中， ||?|| ，|| ? ||
与 || ?|| 都是等价范数； b. || ?|| 与|| ?||
范数的充要条件是： X 中任意序列在两个范数下有相同的收敛性．
[证明]
a. 显然 || x ||
|| x ||
|| x ||
2|| x || ，所以 || ?|| ，|| ?||
与 || ?|| 都是等价范
2
1
1
2
数． b. 必要性是显然的，下面证明充分性．首先
inf {|| x ||2
1
0
．
若 inf {||
x ||
| || x ||
= 1} = 0，则存在 X 中序列 {
| || x || = 1}
x } ，使得 || x
||
= 1， || x ||0．
2
1
n
n
1
n
2
而任意序列在两个范数下有相同的收敛性，从而
|| xn 1
．
这矛盾说明 inf {|| x ||2
||
0
1
．
对 x
X，当 x
0
| || x || = 1} = a > 0
．
时